Виды случайных процессов. Определение и классификация случайных процессов

Различают нестационарные, стационарные и эргодические случайные процессы. Наиболее общий случайный процесс – нестационарный.

Случайный процесс является стационарным , если его многомерная плотность вероятности зависит только от величины интервалов и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента . Отсюда следует, что во-первых, для стационарного процесса одномерная плотность вероятности не зависит от времени, т.е. ; во-вторых, двумерная плотность вероятности зависит от разности , т.е. и т.д. В связи с этим все моменты одномерного распределения, в том числе математическое ожидание и дисперсия, постоянны. Часто бывает достаточно для определения случайного процесса стационарным постоянство первых двух моментов. Таким образом для стационарного процесса:

Стационарный случайный процесс называется эргодическим , если при определении любых статистических характеристик усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной бесконечно длинной реализации; в этом случае

координаты цели, измеряет РЛС; угол атаки самолета; нагрузка в электрической цепи.

5. Типы случайных процессов.

В математике существует понятие случайной функции.

Случайная функция – такая функция, которая в результате опыта принимает тот или иной конкретный вид, причем заранее не известный какой именно. Аргумент такой функции – неслучайный. Если аргумент – время, то такая функция называется случайным процессом . Примеры случайных процессов:

Особенность случайной функции (процесса) в том, что при фиксированном значении аргумента (t ) случайная функция является случайной величиной, т.е. при t = t i Х (t ) = X (t i ) – случайная величина.

Рис. 2.1. Графическое представление случайной функции

Значения случайной функции при фиксированном аргументе называются его сечением . Т.к. случайная функция может иметь бесконечное множество сечений, а в каждом сечении она представляет собой случайную величину, то случайную функцию можно рассматривать как бесконечномерный случайный вектор .

Теория случайных функций часто называется теорией случайных (стохастических)

процессов.

Для каждого сечения случайного процесса можно указать m x (t i ), D x (t i ), x (t i ) и в общем случае – х (t i ).

Кроме случайных функций времени иногда используются случайные функции координат точки пространства. Эти функции приводят в соответствие каждой точке пространства некоторую случайную величину.

Теория случайных функций координат точки пространства называют теорией случайных полей . Пример: вектор скорости ветра в турбулентной атмосфере.

В зависимости от вида функции и вида аргумента различают 4 типа случайных процессов.

Таблица 2.1 Типы случайных процессов

размер лужи (непрерывнозначна довательность)

Кроме того различают:

1. Стационарный случайный процесс – вероятностные характеристики которого не зависит от времени, т.е. х (х 1 , t 1 ) = х (х 2 , t 2 ) = … х (х n , t n )=const.

2. Нормальный случайный процесс (Гаусса) – совместная плотность вероятности сечений t 1 … t n – нормальная.

3. Марковский случайный процесс (процесс без последствия) состояние в каждый момент времени которого зависит только от состояния в предшествующий момент и не зависит от прежних состояний. Марковская цель – последовательность сечений марковского случайного процесса.

4. Случайный процесс типа белого шума – в каждый момент состояния не зависит от предшествующего.

Существуют и другие случайные процессы

1. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ

До определенных пор теория вероятностей ограничивалась понятием случайных величин. Их использование позволяет выполнять статические расчеты, учитывающие случайные факторы. Однако механические системы подвергаются также разнообразным динамическим, то есть изменяющимся во времени воздействиям случайного характера. К ним относятся, в частности, вибрационные и ударные воздействия при движении транспортных средств, аэродинамические силы, вызванные атмосферной турбулентностью, сейсмические силы, нагрузки, обусловленные случайными отклонениями от номинальных режимов работы машин.

Случайные динамические явления изучаются при анализе тенденций в экономике (например, изменения курса акций или валюты). Работа в условиях случайных возмущений характерна для систем управления разнообразными динамическими объектами.

Для анализа подобных явлений используется понятие случайной функции . Случайной функцией X (t ) называется такая функция аргумента t , значение которой при любом t является случайной величиной. Если аргумент принимает дискретные значения t 1 , t 2 , …, t k то говорят о случайной последовательности X 1 , X 2 ,…, X k , где X i = X (t i ).

Во многих практических задачах неслучайный аргумент t имеет смысл времени, при этом случайную функцию называют случайным процессом , а случайную последовательность – временным рядом . Вместе с тем, аргумент случайной функции может иметь и иной смысл. Например, речь может идти о рельефе местности Z (x , y ), где аргументами являются координаты местности x и y , а роль случайной функции играет высота над уровнем моря z. В дальнейшем, для определенности, имея в виду приложения случайных функций к исследованию динамических систем, будем говорить о случайных процессах.

Предположим, что при исследовании случайного процесса X (t ) произведено n независимых опытов, и получены реализации

представляющие собой n детерминированных функций. Соответствующее семейство кривых в определенной мере характеризует свойства случайного процесса. Так, на рис.1.1а представлены реализации случайного процесса с постоянными средним уровнем и разбросом значений возле среднего, на рис. 1.1б – реализации случайного процесса с постоянным средним и изменяющимся разбросом, на рис. 1.1в – реализации случайного процесса с изменяющимися во времени средним и разбросом.

Рис.1.1. Типичные реализации случайных процессов

На рис. 1.2 показаны реализации двух случайных процессов, имеющих одинаковый средний уровень и разброс, но различающихся плавностью. Реализации случайного процесса на рис. 1.2а имеют высокочастотный характер, а на рис. 1.2б – низкочастотный.

Рис. 1.2. Высокочастотный и низкочастотный случайные процессы

Таким образом, X (t ) можно рассматривать и как совокупность всевозможных реализаций, которая подчиняется определенным вероятностным закономерностям. Как и для случайных величин, исчерпывающую характеристику этих закономерностей дают функции или плотности распределения. Случайный процесс считается заданным, если заданы все многомерные законы распределения случайных величин X (t i ), X (t 2 ), …, X (t n ) для любых значений t 1 , t 2 , …, t n из области изменения аргумента t . Речь идет, в частности, об одномерной плотности распределения , двумерной плотности распределения и т.д. .

Для упрощения анализа в большинстве случаев ограничиваются моментными характеристиками, причем чаще всего используют моменты первого и второго порядков. Для характеристики среднего уровня случайного процесса служит математическое ожидание

. (1.1)

Для характеристики амплитуды отклонений случайного процесса от среднего уровня служит дисперсия

Для характеристики изменчивости (плавности) случайного процесса служит корреляционная (автокорреляционная) функция

(1.3)

Как следует из (1.3), корреляционная функция представляет собой ковариацию случайных величин X (t 1) и X (t 2). Ковариация же, как известно из курса теории вероятностей, характеризует взаимозависимость между X (t 1) и X (t 2).

В рамках корреляционной теории случайных функций, которая оперирует лишь моментами первого и второго порядков, могут быть решены многие технические задачи. В частности, могут быть определены априорная, а также условная вероятности выхода случайного процесса за пределы заданных границ. Вместе с тем, некоторые важные в практическом плане задачи не решаются средствами корреляционной теории и требуют использования многомерных плотностей распределения. К таким задачам относится, например, расчет среднего времени нахождения случайного процесса выше или ниже заданной границы.

2. ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

2.1. Квазидетерминированные случайные процессы

Если некоторая переменная х зависит от скалярного ар­гумента t и при каждом фиксированном значении последнего явля­ется случайной величиной, то переменную х(t) называют случайной функцией.

Если аргументом t у переменной x(t) является время, то такую случайную функцию называют случайным процессом. Например, угол тангажа летательного аппарата, движущегося в турбу­лентной атмосфере, является случайным процессом.

Если х -вектор, то зависимость x(t) -векторный случайный процесс. Например, движение центра масс летательного аппарата по траектории характеризуется шестимерным вектором x(t) = {х, у, z, V x , V y , V z }. Если движение аппарата происходит при действии случайных факторов, то x(t) -векторный случайный процесс.

В отдельных опытах наблюдаются реализации x i (t), i-1, 2, ... случайного процесса x(t); i - номер реализации.

Статистическое описание случайного процесса x(t) осуществля­ют, рассматривая множество случайных величин x 1 = x(t 1), ..., x i = x(t i), соответствующих различным значениям времени t, взятым на рассматриваемом интервале его изменения . Считается, что произвольный случайный процесс x(t) описан полностью, если указан способ построения последовательности плотностей вероят­ности р(х, t); p(x 1 , t; x 2 , t 2); ...; р(x 1 , t 1 ; ...; х п, t n) при , где .

Одномерная плотность р(х, t) позволяет определить вероятность попадания случайной величины x(t) в интервал :

С помощью двумерной совместной плотности оп­ределяют, с какой вероятностью две случайные величины х 1 и х 2 по­падут в интервалы и , соответствующие моментам t 1 и t 2:

и так для любого п.

Для описания случайных процессов могут также использоваться условные плотности распределения вероятностей. Условная плот­ность вероятности характеризует распределение веро­ятностей случайной величины , реализации которой в мо­мент прошли через точку . Аналогично условная плотность есть плотность распределе­ния вероятностей случайной величины x n = x(t n), реализации кото­рой в предшествующие моменты принимали фиксирован­ные значения . С учетом формулы (1.7) справедливы следующие соотношения между сов­местными безусловными и условными распределениями:

Имеют место следующие предельные свойства безусловных и условных распределений:

где -дельта-функция в точке Х 1 .

В другом предельном случае

Классификацию случайных процессов осуществляют в зависи­мости от тех свойств, которыми обладают их совместные безуслов­ные и условные распределения.

Абсолютно случайный процесс. Процесс x(t) называют абсо­лютно случайным, если случайные величины и независимы при сколь угодно малом . Учитывая (1.10), для такого процесса получим, что совместное n-мерное распределе­ние при любом п. определяется соотношением

т. е. абсолютно случайный процесс полностью описывается его одно­мерным распределением р(х, I), известным для каждого t.

Марковский процесс. Зададим на интервале возможного изменения аргумента t случайного процесса x(t) временной ряд . Случайный процесс x(t) называют марковским, если для него справедливо соотношение для любых .

Для марковского процесса условная плотность вероятности слу­чайной величины зависит только от того, каким было зна­чение случайной величины и никак не зависит от того, каким были реализации данного процесса в предыдущие моменты . Плотность называют также переходной плотностью вероятности марковского процесса x(t). Для марковского процесса x(t), учитывая (1.34) и (1.40), имеем определяется предыдущим значением и приращением на этом интервале, не зависящим от приращений на предшествующих интервалах.

Гауссовский случайный процесс. Случайный процесс x(t), у ко­торого совместная n-мерная плотность вероятности при любом п и любых является гауссовской, называется гауссовским случайным процессом.

Прежде чем дать определение случайного процесса напомним основные понятия из теории случайных величин. Как известно, случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, заранее неизвестное. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Основной характеристикой случайной величины является закон распределения, который может быть задан в виде графика или в аналитической форме. При интегральном законе распределения функция распределения , где – вероятность того, что текущее значение случайной величины меньше некоторого значения . При дифференциальном законе распределения используют плотность вероятности . Численными характеристиками случайных величин являются так называемые моменты, из которых наиболее употребительны момент первого порядка – среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и центральный момент второго порядка – дисперсия. В случае, если имеется несколько случайных величин (система случайных величин), вводится понятие корреляционного момента.

Обобщением понятия случайной величины является понятие случайной функции , т.е. функции, которая в результате опыта может принять тот или иной вид, неизвестный заранее. Если аргументом функции является время t, то её называют случайным или стохастическим процессом .

Конкретный вид случайного процесса, полученный в результате опыта, называется реализацией случайного процесса и является обычной неслучайной (детерминированной) функцией. С другой стороны в фиксированный момент времени имеем так называемое сечение случайного процесса в виде случайной величины.

Для описания случайных процессов обобщаются естественным образом понятия теории случайных величин. Для некоторого фиксированного момента времени , случайный процесс превращается в случайную величину , для которой можно ввести функцию , называемую одномерным законом распределения случайного процесса . Одномерный закон распределения не является исчерпывающей характеристикой случайного процесса. Он, например, не характеризует корреляцию (связь) между отдельными сечениями случайного процесса. Если взять два разных момента времени и , можно ввести двумерный закон распределения и т.д. В пределах нашего дальнейшего рассмотрения будем ограничиваться в основном одномерным и двумерным законами.

Рассмотрим простейшие характеристики случайного процесса, аналогичные числовым характеристикам случайной величины. Математическое ожидание или среднее по множеству

и дисперсию

Математическое ожидание – это некоторая средняя кривая, вокруг которой группируются отдельные реализации случайного процесса, а дисперсия характеризует в каждый момент времени разброс возможных реализаций. Иногда, используется среднеквадратичное отклонение .

Для характеристики внутренней структуры случайного процесса вводится понятие корреляционной (автокорреляционной ) функции

Наряду с математическим ожиданием (среднее по множеству) (3.1) вводится ещё одна характеристика случайного процесса – среднее значение случайного процесса для отдельной реализации (среднее по времени)

Для двух случайных процессов можно также ввести понятие взаимной корреляционной функции по аналогии с (3.3).

Одним из частных случаев случайного процесса, находящих широкое применение на практике, является стационарный случайный процесс – это случайный процесс, вероятностные характеристики, которого не зависят от времени. Итак, для стационарного случайного процесса , , а корреляционная функция зависит от разности , т.е. является функцией одного аргумента .

Стационарный случайный процесс в какой-то мере аналогичен обычным или установившимся процессам в системах управления.

Стационарные случайные процессы обладают интересным свойством, которое называется эргодической гипотезой . Для стационарного случайного процесса всякое среднее по множеству равно среднему по времени. В частности, например, Это свойство позволяет часто упростить физическое и математическое моделирование систем при случайных воздействиях.

Как известно, при анализе детерминированных сигналов широкое применение находят их спектральные характеристики на базе ряда или интеграла Фурье. Аналогичное понятие можно ввести и для случайных стационарных процессов. Отличие будет заключаться в том, что для случайного процесса амплитуды гармонических составляющих будут случайными, а спектр статического случайного процесса будет описывать распределение дисперсий по различным частотам.

Спектральная плотность стационарного случайного процесса связана с его корреляционной функцией преобразованиями Фурье :

где корреляционную функцию будем трактовать как оригинал, а - как изображение.

Существуют таблицы, связывающие оригиналы и изображения . Например, если , то .

Отметим связь спектральной плотности и корреляционной функции с дисперсией D