Целостное кольцо. Делимость в кольцах Вариации и обобщения

Примеры

Делимость, простые и неприводимые элементы

Пусть a и b - элементы целостного кольца K . Говорят, что «a делит b » или «a - делитель b » (и пишут ), если и только если существует элемент такой, что a x = b .

Делимость транзитивна: если a делит b и b делит c , то a делит c . Если a делит b и c , то a делит также их сумму b + c и разность b - c .

Для кольца K с единицей элементы , которые делят 1, называются единицами или делителями единицы . Они и только они, обратимы в K . Единицы делят все остальные элементы кольца.

Элементы a и b называются ассоциированными , если a делит b и b делит a. a и b ассоциированны тогда и только тогда, когда a = b * e , где e - обратимый элемент.

Ненулевой элемент q , не являющийся единицей называется неприводимым , если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся единицами.

Ненулевой необратимый элемент p называется простым , если из того, что , следует или . Это определение обобщает понятие простого числа в кольце , однако учитывает и отрицательные простые числа. Если p - простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал (p ) будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

Свойства

• Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
  • Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение дает конструкция поля частных.
• Если A ― область целостности, то кольцо многочленов и кольцо формальных степенных рядов над A также будут областями целостности.
• Если A ― коммутативное кольцо с единицей и I ― некоторый идеал в A , то кольцо A / I является областью целостности тогда и только тогда, когда идеал I прост .
• Кольцо будет областью целостности тогда и только тогда, когда его спектр есть неприводимое топологическое пространство.
• Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
• Тензорное произведение целостных колец тоже будет целостным кольцом.

Вариации и обобщения

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела , а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы . Однако, вообще говоря, неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

Смотреть что такое "Целостное кольцо" в других словарях:

Кольцо - получить на Академике актуальный промокод на скидку Спортмаркет или выгодно кольцо купить с дисконтом на распродаже в Спортмаркет

То же, что область целостности … Математическая энциклопедия

- (названное по имени французского математика Этьена Безу) это всякая область целостности, в которой каждый конечнопорождённый идеал является главным. Из этого определения следует, что колецо Безу нётерово тогда и только тогда, когда оно… … Википедия

В коммутативной алгебре кольцом частных S 1R кольца R (коммутативного с единицей) по мультипликативной системе называется пространство дробей с числителями из R и знаменателями из S с арифметическими операциями и отождествлениями, обычными для… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Кольцо. В абстрактной алгебре кольцо это один из наиболее часто встречающихся видов алгебраической структуры. Простейшими примерами колец являются алгебры чисел (целых, вещественных,… … Википедия

Коммутативное локальное кольцо, для к рого выполняется Гензеля лемма, или, в другом определении, для к рого выполняется теорема о неявной функции. Для локального кольца А с максимальным идеалом последнее означает, что для любого унитарного… … Математическая энциклопедия

Коммутативное целостное кольцо А, для к poro существует семейство дискретных нормировании поля частных Ккольца А, удовлетворяющее следующим условиям: а) для любого н для всех i, исключая, быть может, конечное число, б) для условие эквивалентно… … Математическая энциклопедия

Кольцо ростков аналитич. функций в точке аналитического пространства. Более точно: пусть kесть поле с нетривиальным абсолютным значением (обычно предполагаемое полным) и есть fc алгебра степенных рядов от с коэффициентами в k, сходящихся в нек… … Математическая энциклопедия

Коммутативное кольцо с единицей, любой простой идеал к рого является пересечением максимальных идеалов, его содержащих, т. е. кольцо, любое целостное факторкольцо к рого имеет нулевой Джекобсона радикал. Напр., любое артиново кольцо, кольцо целых … Математическая энциклопедия

Целостное кольцо, коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля. Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в нек ром поле, является О. ц. Обратно, любая О. ц. может быть вложена в нек рое поле. Такое вложение дает… … Математическая энциклопедия

Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) понятие абстрактной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, в котором 0≠1 и произведение двух ненулевых элементов не равно нулю. Условие 0≠1… … Википедия

Пусть K – некоторое коммутативное кольцо.

Определение. Стандартным многочленом (или полиномом) степени от переменной x над коммутативным кольцом K называется выражение вида

где
.

Элементы называются коэффициентами многочлена. Все они, или часть из них, могут быть нулевыми.

Каноническая форма многочлена (23) определяется следующим образом.

Находим наибольшее , такое, что
, скажем
и запишем

Степенью многочлена
называется число
, если оно существует. Если же всеобращаются в нуль, то канонической формой многочлена является 0, а его степень –
. Степень
обозначается
.

Пусть
и
- два многочлена.

В зависимости от того, какому из множеств принадлежат коэффициенты , различаются следующие типы многочленов:

Лемма . Многочлены
и
равны тогда и только тогда, когда

, при которых
определены, а все остальные
, равны нулю.

Пусть имеется два многочлена
степени
и
степени
.

Определение . Суммой многочленов
и
называется многочлен

где
и

(26)

Определение. Произведением двух многочленов
и
называется многочлен

где
.

Пример . Пусть заданы два многочлена с булевыми коэффициентами т.е.
.

Суммой многочленов
является многочлен
вида:

а произведением – многочлен
:

Можно показать, что введенная операция умножения многочленов ассоциативна, следовательно многочлены образуют по операции умножения полугруппу, и эта полугруппа коммутативна.

Вывод . Многочлены с целочисленными коэффициентами образуют коммутативное кольцо. Можно показать, что многочлены с рациональными, вещественными и комплексными коэффициентами также образуют соответствующие кольца многочленов. В общем случае говорят о «кольцах многочленов
над кольцом
.

3. Кольцо целостности.

Пусть
– произвольное кольцо. Как было показано ранее, для любого элемента
выполняются равенства:

Отсюда следует, что нулевой – 0 и единичный – элементы являются различными элементами кольца.

Если для элемента
в кольце
существует обратный элемент
, то он единственный, для которого выполняется условие
.

Единичный элемент кольца
является обратным для самого себя:.

Из равенства
следует, что элемент
также являетсяобратным для самого себя.

Нулевой элемент 0 кольца
не имеет обратного элемента, поскольку , для любого элемента
.

Определение. Элемент
, для которого в кольце
существует, и притом только единственный, обратный элемент
, называют обратимым или делителем единицы .

Кольцо целых чисел
является самым простым примером коммутативного кольца, в котором только 1 и –1 являются делителями единицы
.

Теорема. Множество
всех делителей единицыкольца

Доказательство. Действительно, если
, т.е. являются делителями единицы кольца
, то

и, следовательно,

А это означает, что
и
также являются делителями единицыи, следовательно, содержатся в множестве
. Поэтому множество
является группой по умножению.

Определение. Группа
называется группой делителей единичного элементакольца
.

Так как для любого элемента
выполняется равенство
, то по определению делителей элементов кольца, каждый элемент является делителем нуля. В теории колец для произвольных элементов
используют следующее определение делителей нуля.

Определение. Элементы
называются делителями нуля, если
, а
; при этомназывают левым, а– правым делителем нуля.

Пример . 1. В кольце классов вычетов по mod m существуют делители нуля:

:
,

:
.

2. В кольце квадратных матриц второго порядка также существуют делители нуля:

пусть

,

тогда
.

Определение. Кольцом (областью) целостности называется коммутативное кольцо без делителей нуля.

Пример. 1.
– кольцо целых чисел является кольцом целостности.

2. Кольцо
является кольцом целостности в том и только в том случае, если
– простое число.

Рассмотрим произвольное кольцо
. Если, и
, т.е. кольцо не содержит делителей нуля, то такое кольцо называется телом. Более строго.

Определение . Кольцо K , в котором для всех отличных от нуля элементов существуют обратные, называется телом.

Тело не содержит делителей нуля, т.е. если
и
– тело, то, если.

Это означает, что отличные от нуля элементы тела образуют полугруппу по умножению.

Более того, т.к. тело содержит единичный элемент и для каждого отличного от нуля элемента в теле существует обратный элемент, то элементы тела, отличные от нуля образуют группу по умножению.

Примеры . 1. Тело рациональных чисел
. Действительно, если
, где
.

Важно, чтобы обратный элемент
.

Для любого целого числа, например
, обратный элемент существует и равен, но он не принадлежит.

2. Тело вещественных чисел.

3. Тело комплексных чисел.

Кольцом целостности, с которым наиболее часто приходится встречаться, является кольцо целых чисел
.

В теории колец особую роль играют кольца, которые по своим свойствам достаточно близки к кольцу целых чисел. В частности, для этих колец можно развить теорию делимости, аналогичную теории делимости целых чисел. Эти кольца получили название колец главных идеалов. Пусть – кольцо целостности с единицей – коммутативное кольцо без делителей нуля, в котором понятие правого и левого делителя элемента совпадают. Определение делимости элементов этого кольца можно сформулировать так:

Определение. Если для элементов
кольца целостности всуществует такой элемент, что
, то говорят, что элемент делится на, и пишут
илиделит–, или
.

Из определения делимости двух элементов вытекают следующие свойства делимости в кольце целостности:

Эти свойства являются распространением на кольцо целостности соответствующих свойств делимости в кольце целых чисел.

5. Каждый элемент
делится на любой делительединицы
. Действительно, если– делитель единицы, то и– также делитель единицы, а это означает, что
, тогда
и, следовательно,
.

6. Если
делится на
, тоделится и на
, где– любой делитель единицы.

Действительно, из равенства
следует равенство
и, следовательно,
.

7. Каждый элемент из делителей и
, где– любой делитель единицы, является делителем и другого.

Действительно, из равенства
следует равенство
, а из равенства
– равенство
. Следовательно, если
, то
, и наоборот.

В дальнейшем будем рассматривать элементы кольца целостности , отличные от нуля.

Определение. Элементы
кольца целостностиназываютсяассоциированными , если каждый из них является делителем другого:

. (55)

Из равенства (55) следует, что
. Отсюда, сократив обе части полученного равенства на
, получаем
. Следовательно,иявляются делителями единицы. Таким образом, еслии– ассоциированные элементы, то
, где– некоторый делитель единицы. С другой стороны, какой бы мы не взяли делитель единицы
, элементыи
ассоциированные между собой, поскольку
.

Определение. Элементы
кольца целостностиназываютсяассоциированными , если
, где– некоторый делитель единицы.

Пример. В кольце целых чисел
ассоциированными являются пары чисел
.

Если иассоциированные элементы кольца целостности, то
. Отсюда следует, что
– главный идеал, порожденный элементомявляется подмножеством
– главного идеала, порожденного элементоми наоборот:

Это означает, что два ассоциированных элемента
, кольца целостностипорождают один и тот же главный идеал.

Пусть
– произвольные элементы кольца целостности.

Определение. Элемент
называется общим делителем элементови, если каждый из этих элементов делится на.

По свойству 5 все делители единицы
кольца целостностиявляются общими делителями элементови. Но у элементовимогут быть и другие общие делители. Введем понятие наибольшего общего делителя (НОД) этих элементов. Определение НОД двух целых чисел, по которому НОД называютнаибольший из общих делителей, распространить на кольцо целостности нельзя, т.к. в произвольном кольце целостности нет отношения порядка. Однако можно ввести и другое определение НОД двух чисели, а именно: НОД двух чиселиназывается такой общий делитель этих чисел, который делится на любой другой их общий делитель. Именно это определение НОД и распространяется на элементы кольца целостности.

Определение. Наибольшим общим делителем двух элементов
кольца целостностиназывается такой элемент
, обозначаемый символом
и обладающий двумя свойствами:

Замечание. Ясно, что вместе с свойствами 1., 2. Обладает любой ассоциированный с ним элемент. Действительно, если– НОД элементов
, то формально это записывается в виде
или
. Если также и
, то элементыиделятся друг на друга и, следовательно, являются ассоциированными. С другой стороны, если
, то, очевидно,
, где– любой делитель единицы. Таким образом НОД элементов
определяется с точностью до сомножителя, который является делителем единицы.

С учетом этого замечания к свойствам 1., 2. Наибольшего общего делителя добавляются следующие:

Свойство 6. позволяет распространить понятие НОД на произвольное конечное число элементов кольца целостности .

По аналогии с
вводится дуальное понятиенаименьшего общего кратного
элементов
кольца целостностиопределенного с точностью до ассоциированности и обладающее также двумя свойствами:

;

.

В частности, полагая
, получаем, что
.

Теорема. Если для элементов
кольца целостностисуществуют
и
. Тогда

б)

,

.

Доказательство. Утверждение а) вытекает непосредственно из определения
. Для доказательства б) необходимо убедиться, что элемент, определенный равенством
, обладает свойствами 1., 2. НОД. Действительно, из, следовательно
, откуда после сокращения на, допустимого в любом кольце целостности, имеем
, т.е.. Аналогично, т.е.. Этим доказано свойство 1. Для доказательства свойства 2. Представим
. Положим
. Тогда
– общее кратное элементови. Согласно свойству
для некоторого
, откуда, т.е.
и, что и требовалось доказать.

Определение. Элементы
кольца целостностиназываются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, отличных от делителей единицы, т.е. если НОД
.

Пусть – произвольный делитель единицы, и
– произвольный элемент кольца целостности. Тогда из условия
следует, что
. Это означает, что все элементы ассоциированные с элементом, и все делители единицы являются делителями элемента
. Их называюттривиальными или несобственными делителями элемента . Все делители отличные от
и, если такие существуют в, называютсянетривиальными , или собственными делителями элемента
.

Пример. В кольце целых чисел
тривиальными делителями числа 10 являются числа
и
, а нетривиальными – числа
и
.

Определение. Элемент
кольца целостностиназывается неразложимым, или простым, если он не является делителем единицы и не имеет нетривиальных делителей; элемент
называется разложимым, или составным, если он имеет нетривиальные делители.

Другими словами, элемент
называется разложимым, если его можно представить в виде произведения
двух нетривиальных делителей
; элемент
– называется неразложимым, если его нельзя представить в виде произведения двух нетривиальных делителей.

Пример. В кольце целых чисел
неразложимыми являются числа
т.е. простые числа и противоположные простым. Все остальные числа отличные от
, – разложимы.

Неразложимые элементы обладают следующими свойствами:

Действительно, первое свойство следует непосредственно из свойства 7 делимости элементов кольца целостности. Второе свойство докажем следующим образом. Если НОД
, токак делитель неразложимого элемента, является либо некоторым делителем единицы, либо элементом вида
. В первом случае элементыивзаимно простые, во втором –делится на.

Определение. Кольцо целостности называется кольцом с однозначным разложением на простые множители (или факториальным кольцом), если любой элемент
изможно представить в виде:

, (46)

где обратный элемент, а
– простые элементы (не обязательно попарно различные), причем из существования другого такого разложения

следует, что
и при надлежащей нумерации элементовибудет

,
,…,
,

где
– обратные элементы в. Допуская в разложении (46)
, мы принимаем соглашение, что обратимые элементыв кольце целостноститакже имеют разложение на простые множители. Ясно, что если– простой, аобратный элемент в, то ассоциированный сэлемент
тоже простой.

Пример. В кольце целых чисел
с обратимыми элементамии
отношение порядка
дает возможность выделитьположительное простое число из двух возможных простых элементов
.

Теорема. Пусть – произвольное кольцо целостности с разложением на простые множители. Однозначность разложения в(факториальность) имеет место тогда и только тогда, когда любой простой элемент
, делящий произведение
, делит по крайней мере один из сомножителейили.

Доказательство. Пусть
. Если

разложения
на простые множители, а– кольцо с однозначным разложением, то из равенств
следует, что элементассоциирован с одним изили, т.е.делитили.

Обратно, установим однозначность разложения в , где
или. Рассуждая по индукции, допустим, что разложение всех элементов изс числом
простых множителей единственно (с точностью до порядка сомножителей и их ассоциированности).

Докажем теперь это для любого элемента
, который может быть разложен на
простых сомножителей. Именно, пусть

(47)

– два разложения элемента с
.

Условие теоремы, примененное к
дает нам, что
должен делить один из элементов
. Без ограничения общности (это вопрос нумерации) будем считать, что
. Но
– простой элемент, поэтому
, где – обратимый элемент. Используя закон сокращения в , получаем из (41) равенство

. (48)

В левой части равенства (42) стоит произведение простых сомножителей. По предположению индукции
и оба разложения отличаются лишь порядком простых элементов, снабженных, возможно, какими–то обратимыми сомножителями.

Замечание. В произвольном кольце целостности элемент
вообще не обязан допускать разложение типа (40). Более интересным является тот факт, что имеются кольца целостности, в которых разложение на простые множители хотя и возможно, но не является однозначным, т.е. условия теоремы, кажущиеся тривиальными не всегда выполняются.

Пример. Рассмотрим кольцо целостности
, где.

Норма
каждого отличного от нуля элемента
– целое положительное число. Если элементобратим в, то
, откуда
. Это возможно лишь при
. Таким образом в , как и в 1, обратимыми элементами являются только
. Если, то. Так как
, то при заданномчисло множителейне может неограниченно расти. Следовательно, разложение на простые множители ввозможно. Вместе с тем число 9 (да и не только оно) допускает два существенно различных разложения на простые множители:

Неассоциированность элементов 3 и
очевидна. Далее,
. Поэтому из разложения
для
или
с необратимыми
следовало бы, т.е.
, что невозможно, поскольку уравнение
с
неразрешимо. Этим доказана простота элементов 3 и
.

Алгебраические структуры: кольцо.

Определение. Пусть А – непустое множество, на котором определены две внутренние бинарные алгебраические операции, которые мы будем называть сложением и умножением и записывать соответственно. Алгебраическая структура называется кольцом, если относительно множество А является абелевой группой и выполняется закон ассоциативности умножения и оба закона дистрибутивности умножения относительно сложения.

Другими словами, алгебраическая структура называется кольцом, если выполняются следующие законы:

1 – 4. Законы абелевой группы относительно сложения;

5. Закон ассоциативности умножения:

6. Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:

Определение. Если в кольце А выполняется:

7. Закон коммутативности умножения

то кольцо А называется коммутативным кольцом.

Определение. Если в кольце А существует единичный элемент относительно умножения:

8. Закон существования единичного элемента

то кольцо А называется кольцом с единицей.

Пусть А – произвольное кольцо. Тогда

2. Если кольцо А обладает единицей, то

Доказательство один к одному повторяет доказательство аналогичных свойств поля.

п.15. Область целостности.

Определение. Пусть А – произвольное кольцо, .

Если , но , тогда элемент а называют левым делителем нуля, а элемент b – правым делителем нуля. Если А – коммутативное кольцо, то а и b называются делителями нуля.

Определение. Если кольцо не имеет делителей нуля, то оно называется кольцом без делителей нуля.

Определение. Коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля называется областью целостности.

Пример 1. Кольцо целых Z является областью целостности.

Пример 2. Кольцо многочленов над произвольным полем является областью целостности. (Смотри доказательство в Дополнение 2. кольца многочленов.)

Пример 3. Кольцо функций определенных на отрезке является коммутативным, с единицей, но с делителями нуля. Например, положим

, .

Тогда f(x) и g(x) – ненулевые функции, определенные на отрезке , т.е. являются элементами кольца , но их произведение, очевидно, равно нулевой функции:

где по определению полагают , и, очевидно, является нулем кольца.

Аналогично можно показать, что кольцо функций также имеет делители нуля и поэтому не является областью целостности., то , т.е. выполняется закон сокращения справа. Аналогично доказывается закон сокращения слева. доказана.

Заметим, что в любом кольце выполняется закон сокращения относительно сложения, т.к. кольцо относительно является группой, а в любой группе, как мы видели, справедлив закон сокращения.

Область целостности (или целостное кольцо , или область цельности или просто область ) - понятие коммутативной алгебры : коммутативное кольцо без делителей нуля (произведение никакой пары ненулевых элементов не равно 0).

Эквивалентное определение: область целостности - это коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым . Любая область целостности является подкольцом своего поля частных .

Примеры

• Простейший пример области целостности - кольцо целых чисел $\backslash mathbb\; Z$.
• Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.
• Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо $\backslash mathbb\{Z\}[x]$ многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо $\backslash mathbb\{R\}$ многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами. Также является целостным кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами из целостного кольца.
• Множество действительных чисел вида $a+b\backslash sqrt\{2\}$ есть подкольцо поля $\backslash mathbb\{R\}$, а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида $a+bi$, где $a$ и $b$ целые (множество гауссовых целых чисел).
• Пусть $U$ - связное открытое подмножество комплексной плоскости $\backslash mathbb\{C\}$. Тогда кольцо $H(U)$ всех голоморфных функций $f:U\backslash rightarrow\backslash mathbb\{C\}$ будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия .
• Если $K$ - коммутативное кольцо, а $I$ - идеал в $K$, то факторкольцо $K/I$ целостное тогда и только тогда, когда $I$ - простой идеал .

Делимость, простые и неприводимые элементы

Пусть $a$ и $b$ - элементы целостного кольца $K$. Говорят, что «$a$ делит $b$» или «$a$ - делитель $b$» (и пишут $a\backslash mid\; b$), тогда и только тогда, когда существует элемент $x\backslash in\; K$ такой, что $ax=b$.

Делимость транзитивна: если $a$ делит $b$ и $b$ делит $c$, то $a$ делит $c$. Если $a$ делит $b$ и $c$, то $a$ делит также их сумму $b+c$ и разность $b-c$.

Для кольца $K$ с единицей делители единицы , то есть элементы $a\backslash in\; K$, делящие 1, называются также (алгебраическими) единицами . Они и только они в $K$ имеют обратный элемент, так что делители единицы называются также обратимыми элементами . Обратимые элементы делят все остальные элементы кольца.

Элементы $a$ и $b$ называются ассоциированными , если a делит $b$ и $b$ делит $a$. $a$ и $b$ ассоциированны тогда и только тогда, когда $a\; =\; be$, где $e$ - обратимый элемент.

Ненулевой элемент $q$, не являющийся единицей называется неприводимым , если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся единицами.

Ненулевой необратимый элемент $p$ называется простым , если из того, что $p\backslash mid\; ab$, следует $p\backslash mid\; a$ или $p\backslash mid\; b$. Это определение обобщает понятие простого числа в кольце $\backslash mathbb\{Z\}$, однако учитывает и отрицательные простые числа. Если $p$ - простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал $(p)$ будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

Свойства

• Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
  • Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение даёт конструкция поля частных.
• Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
• Тензорное произведение целостных колец тоже будет целостным кольцом.
• Характеристика области целостности является либо нулём, либо простым числом .

Вариации и обобщения

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела , а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы . Однако неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

Напишите отзыв о статье "Область целостности"

Литература

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. - 3-е изд. - М .: Факториал Пресс, 2002. - 544 с. - 3000 экз. - ISBN 5-88688-060-7 .

Отрывок, характеризующий Область целостности

В Лысых Горах, имении князя Николая Андреевича Болконского, ожидали с каждым днем приезда молодого князя Андрея с княгиней; но ожидание не нарушало стройного порядка, по которому шла жизнь в доме старого князя. Генерал аншеф князь Николай Андреевич, по прозванию в обществе le roi de Prusse, [король прусский,] с того времени, как при Павле был сослан в деревню, жил безвыездно в своих Лысых Горах с дочерью, княжною Марьей, и при ней компаньонкой, m lle Bourienne. [мадмуазель Бурьен.] И в новое царствование, хотя ему и был разрешен въезд в столицы, он также продолжал безвыездно жить в деревне, говоря, что ежели кому его нужно, то тот и от Москвы полтораста верст доедет до Лысых Гор, а что ему никого и ничего не нужно. Он говорил, что есть только два источника людских пороков: праздность и суеверие, и что есть только две добродетели: деятельность и ум. Он сам занимался воспитанием своей дочери и, чтобы развивать в ней обе главные добродетели, до двадцати лет давал ей уроки алгебры и геометрии и распределял всю ее жизнь в беспрерывных занятиях. Сам он постоянно был занят то писанием своих мемуаров, то выкладками из высшей математики, то точением табакерок на станке, то работой в саду и наблюдением над постройками, которые не прекращались в его имении. Так как главное условие для деятельности есть порядок, то и порядок в его образе жизни был доведен до последней степени точности. Его выходы к столу совершались при одних и тех же неизменных условиях, и не только в один и тот же час, но и минуту. С людьми, окружавшими его, от дочери до слуг, князь был резок и неизменно требователен, и потому, не быв жестоким, он возбуждал к себе страх и почтительность, каких не легко мог бы добиться самый жестокий человек. Несмотря на то, что он был в отставке и не имел теперь никакого значения в государственных делах, каждый начальник той губернии, где было имение князя, считал своим долгом являться к нему и точно так же, как архитектор, садовник или княжна Марья, дожидался назначенного часа выхода князя в высокой официантской. И каждый в этой официантской испытывал то же чувство почтительности и даже страха, в то время как отворялась громадно высокая дверь кабинета и показывалась в напудренном парике невысокая фигурка старика, с маленькими сухими ручками и серыми висячими бровями, иногда, как он насупливался, застилавшими блеск умных и точно молодых блестящих глаз.

Областью целостности называют коммутативное кольцо без делителей нуля . Так, кольцо целых чисел есть область целостности.

Теорема 2.9. Конечная область целостности является полем .

◀ Поле - это кольцо, умножение которого коммутативно, а каждый ненулевой элемент а имеет обратный элемент относительно умножения . Так как область целостности, по определению, является коммутативным кольцом, то достаточно доказать, что для конечной области целостности любой ненулевой элемент обратим, т.е. для всякого а ≠0 существует единственный x, такой, что а ⋅ х = 1 .

Фиксируем произвольный элемент а ≠ 0 определяем отображение f a множества всех ненулевых элементов в себя по формуле f a (x)=a ⋅ x ≠ 0 в области целостности при а≠0 и х ≠ 0 ). Отображение f a является инъекцией, поскольку из равенства а ⋅ х = а ⋅ у вытекает равенство а ⋅(x-y) = 0 , откуда ввиду отсутствия делитеей нуля x-y = 0 и x=y. Так как носитель по условию теоремы конечен, то, согласно теореме 1.8, f a также и биекция. Поэтому для любого у существует единственный элемент x, такой, что у = а ⋅х. В частности, при у = 1 равенство а ⋅ х = 1 выполнено для некоторого однозначно определенного х, т.е. х = а -1

Доказательство теоремы 2.9 опирается на условие конечности кольца. Это условие действительно важно. Пример кольца целых чисел показывает, что бесконечная область целостности может и не быть полем.

Теорема 2.9 имеет интересные следствия. Рассмотрим кольцо ℤ p вычетов по модулю р .

Следствие 2.2. Кольцо ℤ p вычетов по модулю р является полем тогда и только тогда, когда р - простое число.

Пусть ℤ p является полем. Покажем, что в этом случае число р простое. Предположим, что оно составное. Тогда найдутся такие числа k и l, 0

Пусть р - простое число. Предположим, что элементы m и n кольца ℤ p будут делителями нуля, т.е. m ⋅ n = 0(modp). При простом р равенство произведения m ⋅ n нулю по модулю р означает, что либо m делится на р, либо n делится на р, т.е. либо m = 0(modp), либо n = 0(modp). Учитывая неравенства 0≤m≤p и 0≤n≤p-1, заключаем, что либо m = 0, либо n = 0. Таким образом, при простом р делителей нуля нет и кольцо ℤ p , как конечная область целостности, является полем.

Мультипликативную группу поля ℤ p вычетов по модулю р обозначают Z *p и называют мультипликативной группой вычетов по модулю р.

Для произвольного р легко видеть, что ненулевые элементы m и n кольца ℤ p будут делителями нуля тогда и только тогда, когда произведение m⋅n делится на р (т.е. m⋅n = 0(modp)). Например, в кольце Z 12 делителями нуля будут элементы 2 и 6, 3 и 4, 3 и 8, 4 и 6, 4 и 9, 6 и 6, 6 и 8, 6 и 10, 8 и 9.

Замечание 2.3 . Следствие 2.2 допускает интерпретацию с точки зрения теории чисел: каково бы ни было простое число р, для всякого ненулевого m < р найдется единственное ненулевое n < р, такое, что mn = 1 (modp). Этот результат имеет место именно в силу того, что для каждого элемента поля ℤ p есть обратный элемент относительно умножения. Это - один из примеров применения общей алгебры к теории чисел.

Пример 2.14 . В заключение приведем „таблицу сложения" (табл. 2.1) и „таблицу умножения" (табл. 2.2) для поля ℤ 5

Таблица 2.1; Таблица 2.2

Таблицы, подобные приведенным выше, которые определяют операции в конечных алгебрах, носят название таблиц Кэли . Из таблиц Кэли для поля вычетов по модулю 5 следует, что в этом поле выполняются слегка шокирующие при первом взгляде равенства: 4 = -1, 2 = З -1 , 4 = 4 -1 и т.п. Но ни о каких „отрицательных" числах и ни о каких „дробях" тут речи нет, поскольку расматриваются другие объекты - остатки при де- делении на 5. Просто равенство 4 = -1 означает, что элемент 1 есть элемент, противоположный 4 в аддитивной группе вы- вычетов по модулю 5: 4 ⊕ 5 1 = 0. Аналогично по в мультипликативной группе вычетов по модулю 5 элемент 3 есть обратный к 2 , так как 3 ⨀ 5 2 = 1, а элемент 4 обратен к себе самому.

Пример 2.15. Рассмотрим пример решения системы линейных алгебраических уравнений в поле ℤ 5 . При записи нений будем опускать знак ⨀ 5 умножения там, где это не приводит к недоразумениям. Будем решать систему

используя метод Гаусса . Домножив первую строку на 3 и прибавив ее ко второй строке, получим

(3⊕ 5 2) x 1 ⊕ 5 (3⨀ 5 2⊕ 5 2) x 2 ⊕ 5 (3⨀ 5 3⊕ 5 4) x 3 = 3⊕ 5 3

Воспользовавшись таблицами Кэли, вычислим коэффициенты при переменных. В итоге имеем

0⨀ 5 x 1 ⊕ 5 3x 2 ⊕ 5 3x 3 = 1.

Прибавив к третьей строке первую, получим

(1⊕ 5 4)x 1 ⊕ 5 (2⊕ 5 3)x 2 ⊕ 5 (3⊕ 5 1)x 3 = 1,

откуда 4х 3 = 1.

Система привелась к виду

Из последнего уравнения находим х 3 = 4 -1 ⨀ 5 1 = 4⨀ 5 1 = 4. Подставив х 3 = 4 во второе уравнение, будем иметь 3x 2 ⊕ 5 3⨀ 5 4 = 1,

т.е. 3x 2 = 1 ⊕ 5 (-2) = -1 = 4. Отсюда

x 2 = 3 -1 ⨀ 5 4 = 2⨀ 5 4 = 3

Из первого уравнения после подстановки найденных значений переменных получим

x 1 ⊕ 5 2⨀ 5 3⊕ 5 3⨀ 5 4 = 1,

откуда x 1 ⊕ 5 1⊕ 5 2 = 1 и x 1 = -2 = 3.

Таким образом, х 1 = 3, x 2 = 3 и x 3 = 4 - решение системы линейных уравнений. #

Заметим в заключение, что известная из техника решения систем линейных алгебраических уравнений в полях действительных или комплексных чисел может быть без изменения перенесена на любое поле.