Matematiikan eri aloilla, samoin kuin matematiikan soveltamisessa tekniikassa, on usein tilanne, jossa algebrallisia operaatioita ei suoriteta numeroille, vaan eri luonteisille objekteille. Esimerkiksi matriisilisäys, matriisin kertolasku, vektorien summaus, operaatiot polynomeilla, operaatiot lineaarisilla muunnoksilla jne.
Määritelmä 1. Rengas on joukko matemaattisia objekteja, joissa määritellään kaksi toimintoa - "yhteenlasku" ja "kerto", jotka vertaavat järjestettyjä elementipareja "summaan" ja "tulokseen", jotka ovat saman joukon elementtejä. Nämä toimet täyttävät seuraavat vaatimukset:
1.a+b=b+a(lisäyksen kommutatiivisuus).
2.(a+b)+c=a+(b+c)(lisäyksen assosiatiivisuus).
3. On olemassa nollaelementti 0 niin, että a+0=a, mille tahansa a.
4. Kenelle tahansa a on vastakkainen elementti − a sellasta a+(−a)=0.
5. (a+b)c=ac+bc(vasen jakelu).
5".c(a+b)=ca+cb(oikea jakelu).
Vaatimukset 2, 3, 4 tarkoittavat, että matemaattisten objektien joukko muodostaa ryhmän ja yhdessä kohteen 1 kanssa on kyse kommutatiivisesta (Abelin) ryhmästä summauksen suhteen.
Kuten määritelmästä voidaan nähdä, renkaan yleisessä määritelmässä kertoimille ei ole asetettu rajoituksia, lukuun ottamatta jakaumaa yhteenlaskulla. Kuitenkin milloin erilaisia tilanteita on tarpeen harkita renkaita lisävaatimuksilla.
6. (ab)c=a(bc)(kertoimen assosiatiivisuus).
7.ab=ba(kerronnan kommutatiivisuus).
8. Identiteettielementin 1 olemassaolo, ts. sellaisia a 1 = 1 a=a, mille tahansa elementille a.
9. Elementin mille tahansa elementille a on käänteinen elementti a−1 sellainen aa −1 =a −1 a= 1.
Eri renkaissa 6, 7, 8, 9 voidaan suorittaa sekä erikseen että erilaisina yhdistelminä.
Rengasta kutsutaan assosiatiiviseksi, jos ehto 6 täyttyy, kommutatiiviseksi, jos ehto 7 täyttyy, kommutatiiviseksi ja assosiatiiviseksi, jos ehdot täyttyvät 6 ja 7. Rengasta kutsutaan yksikkörenkaaksi, jos ehto 8 täyttyy.
Esimerkkejä renkaista:
1. Joukko neliömatriiseja.
Todella. Kohtien 1-5, 5 "täyttö on ilmeinen. Nollaelementti on nollamatriisi. Lisäksi suoritetaan piste 6 (kertolasku), piste 8 (yksikköelementti on identiteettimatriisi). Kohdat 7 ja 9 ei suoriteta, koska tavallisessa tapauksessa neliömatriisien kertolasku on ei-kommutatiivista, eikä neliömatriisille aina ole käänteistä.
2. Kaikkien kompleksilukujen joukko.
3. Kaikkien reaalilukujen joukko.
4. Paljon kaikkia rationaalisia lukuja.
5. Kaikkien kokonaislukujen joukko.
Määritelmä 2. Mitä tahansa lukujärjestelmää, joka sisältää minkä tahansa sen kahden luvun summan, erotuksen ja tulon, kutsutaan numero rengas.
Esimerkit 2-5 ovat numerorenkaita. Numerorenkaat ovat myös kaikki parillisia lukuja, samoin kuin kaikki kokonaisluvut, jotka ovat jaollisia ilman jäännöstä jollain luonnollisella luvulla n. Huomaa, että parittomien lukujen joukko ei ole rengas, koska kahden parittoman luvun summa on parillinen luku.
Lähetä hyvä työsi tietokanta on yksinkertainen. Käytä alla olevaa lomaketta
Opiskelijat, jatko-opiskelijat, nuoret tutkijat, jotka käyttävät tietopohjaa opinnoissaan ja työssään, ovat sinulle erittäin kiitollisia.
Liittovaltion koulutusvirasto
Osavaltio oppilaitos korkeampi ammatillinen koulutus
Vyatkan osavaltion humanistinen yliopisto
Matematiikan tiedekunta
Matemaattisen analyysin ja menetelmien laitos
matematiikan opettaminen
Viimeinen pätevyystyö
aiheesta: Gaussin kokonaislukujen rengas.
Valmistunut:
5. vuoden opiskelija
Matematiikan tiedekunta
Gnusov V.V.
___________________________
Tieteellinen neuvonantaja:
laitoksen vanhempi lehtori
algebra ja geometria
Semenov A.N.
___________________________
Arvostelija:
Fysiikan ja matematiikan kandidaatti Tieteet, apulaisprofessori
Algebran ja geometrian laitos
Kovyazina E.M.
___________________________
Päästiin puolustamaan SAC:ssa
Pää Osasto ________________ Vechtomov E.M.
« »________________
Tiedekunnan dekaani _______________________ Varankina V.I.
« »________________
Kirov 2005
- Johdanto. 2
- 3
- 4
- 1.2 JAKO REMAININ KANSSA. 5
- 1.3 GCD. EUCLID-ALGORITMI. 6
- 9
- 12
- 17
- Johtopäätös. 23
Johdanto.
Monimutkaisten kokonaislukujen renkaan löysi Carl Gauss ja nimesi Gaussian hänen mukaansa.
K. Gauss tuli ajatukseen kokonaisluvun käsitteen laajentamisen mahdollisuudesta ja tarpeellisuudesta etsiessään algoritmeja toisen asteen vertailujen ratkaisemiseksi. Hän siirsi kokonaisluvun käsitteen muodon lukuihin, joissa on mielivaltaisia kokonaislukuja, ja se on yhtälön juuri. Tietyllä joukolla K. Gauss rakensi ensimmäisenä jaotuvuusteorian, joka on samanlainen kuin luvun jakoteoria. kokonaislukuja. Hän perusteli jaollisuuden perusominaisuuksien pätevyyttä; osoitti, että kompleksilukujen renkaassa on vain neljä käännettävää elementtiä: ; todisti jakolauseen pätevyyden jäännöksellä, lauseen alkutekijöiksi hajoamisen ainutlaatuisuudesta; osoitti mitkä luonnolliset alkuluvut pysyvät alkulukuina renkaassa; löysi yksinkertaisten kokonaislukukompleksilukujen luonteen.
K. Gaussin kehittämä teoria, joka on kuvattu teoksessaan "Aritmeettiset tutkimukset", oli lukuteorian ja algebran perustavanlaatuinen löytö.
Opinnäytetyölle asetettiin seuraavat tavoitteet:
1. Kehitä Gaussin lukujen renkaan jaotuvuusteoria.
2. Selvitä yksinkertaisten Gaussin lukujen luonne.
3. Näytä Gaussin lukujen käyttö tavallisten diofantiinitehtävien ratkaisemisessa.
LUKU 1. JAETTUVUUS GAUSS-LUKURENKAUSSA.
Harkitse kompleksilukujen joukkoa. Analogisesti reaalilukujen joukon kanssa, siinä voidaan erottaa kokonaislukujen osajoukko. Joukko numeroita muodossa missä kutsutaan kompleksisiksi kokonaisluvuiksi tai Gaussin luvuiksi. On helppo tarkistaa, että renkaan aksioomit pätevät tähän sarjaan. Siten tämä kompleksilukujoukko on rengas ja sitä kutsutaan Gaussin kokonaislukujen rengas . Merkitään se nimellä, koska se on renkaan jatke elementtikohtaisesti: .
Koska Gaussin lukujen rengas on kompleksilukujen osajoukko, jotkin kompleksilukujen määritelmät ja ominaisuudet pätevät sille. Joten esimerkiksi jokainen Gaussin luku vastaa vektoria, joka alkaa pisteestä ja päättyy pisteeseen. Siten, moduuli on Gaussin lukuja. Huomaa, että tarkasteltavassa joukossa alimoduulilauseke on aina ei-negatiivinen kokonaisluku. Siksi joissakin tapauksissa sitä on helpompi käyttää normi , eli moduulin neliö. Täten. Voimme erottaa seuraavat normin ominaisuudet. Kaikille Gaussin luvuille seuraava on totta:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Näiden ominaisuuksien oikeellisuus tarkistetaan triviaalisti moduulin avulla. Ohittaen huomautamme, että (2), (3), (5) pätevät myös kaikille kompleksiluvuille.
Gaussin lukujen rengas on kommutatiivinen rengas ilman jakajia 0, koska se on kompleksilukukentän osajoukko. Tämä tarkoittaa renkaan moninkertaista supistuvuutta, eli
1.1 KÄÄNTYVÄT JA SEOKSET ELEMENTIT.
Katsotaan, mitkä Gaussin luvut ovat käännettyjä. Se on neutraali kertomalla. Jos Gaussin luku palautuva , silloin määritelmän mukaan sellainen on olemassa Siirtymällä normeihin ominaisuuden 3 mukaan saamme. Mutta nämä normit ovat siksi luonnollisia. Näin ollen ominaisuudella 4, . Päinvastoin, kaikki tietyn joukon elementit ovat käänteisiä, koska. Siksi luvut, joiden normi on yhtä suuri kuin yksi, ovat palautuvia, eli .
Kuten näet, kaikki Gaussin luvut eivät ole palautuvia. Siksi on mielenkiintoista pohtia jaettavissa olevaa kysymystä. Kuten tavallista, niin sanomme on jaettu päälle, jos sellainen on olemassa.Kaikille Gaussin luvuille, samoin kuin käänteisille, ominaisuudet ovat tosi.
(7)
(8)
(9)
(10)
, missä (11)
(12)
(8), (9), (11), (12) on helppo tarkistaa. Pätevyys (7) seuraa kohdasta (2) ja (10) seuraa (6). Ominaisuuden (9) vuoksi joukon alkiot käyttäytyvät samalla tavalla jaollisuuden suhteen ja niitä ns. liittolainen Kanssa. Siksi on luonnollista harkita Gaussin lukujen jaollisuutta liittoon asti. Geometrisesti kompleksitasolla liittolaiset luvut eroavat toisistaan usean kulman kierron verran.
1.2 JAKO REMAININ KANSSA.
Olkoon tarpeen jakaa, mutta on mahdotonta tehdä jakoa kokonaan. Meidän täytyy saada, ja samalla pitää olla "vähän". Sitten näytämme, mikä otetaan epätäydellisenä osamääränä jaettaessa jäännöksellä Gaussin lukujen joukossa.
Lemma 1. Jakojäännöksellä.
Kehässä jako jäännöksellä on mahdollista, jossa jäännös on pienempi kuin normin jakaja. Tarkemmin sanottuna mihin tahansa Ja Siellä on sellasta . Kuten voit ottaa lähimmän kompleksiluvun Gaussin luku.
Todiste.
Jaa kompleksilukujen joukossa. Tämä on mahdollista, koska kompleksilukujen joukko on kenttä. Anna olla. Pyöristämällä reaaliluvut ja kokonaisluvuiksi, saamme vastaavasti ja. Antaa. Sitten
.
Kertomalla nyt molemmat epäyhtälön osat saamme kompleksilukujen normin moninkertaisuudesta johtuen, että. Epätäydellisenä osamääränä voidaan siis ottaa Gaussin luku, joka, kuten on helppo nähdä, on lähinnä sitä.
C.T.D.
1.3 GCD. EUCLID-ALGORITMI.
Käytämme tavallista renkaiden suurimman yhteisen jakajan määritelmää. GCD "ohm kahden Gaussin luvun yhteinen jakaja, joka on jaollinen millä tahansa muulla yhteisellä jakajalla.
Kuten kokonaislukujoukossa, Gaussin lukujen joukossa käytetään euklidista algoritmia GCD:n löytämiseen.
Olkoon ja annetaan Gaussin lukuja, lisäksi. Jaa loppuosalla:. Jos jäännös on eri kuin 0, jaamme tällä jäännöksellä ja jatkamme jäännösten peräkkäistä jakamista niin kauan kuin se on mahdollista. Saamme tasa-arvoketjun:
, Missä
, Missä
, Missä
……………………….
, Missä
Tämä ketju ei voi jatkua loputtomiin, koska meillä on laskeva normijono ja normit ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja.
Lause 2. GCD:n olemassaolosta.
Eukleideen algoritmissa, jota sovellettiin Gaussin lukuihin Ja viimeinen nollasta poikkeava jäännös on gcd( ).
Todiste.
Osoittakaamme, että euklidisessa algoritmissa todellakin saadaan gcd.
1. Harkitse tasa-arvoja alhaalta ylös.
Viimeisestä yhtälöstä voidaan nähdä, että.. Siten lukujen summana jaollinen. Koska ja, seuraava rivi antaa. Ja niin edelleen. Näin ollen on selvää, että i. Eli se on yhteinen numeroiden jakaja.
Osoittakaamme, että tämä on suurin yhteinen jakaja, toisin sanoen jaollinen millä tahansa niiden muilla yhteisillä jakajilla.
2. Harkitse tasa-arvoja ylhäältä alas.
Antaa olla mielivaltainen yhteinen jakaja numerot ja. Silloin, koska lukujen erotus on jaollinen, on voimassa ensimmäisestä yhtälöstä. Toisesta tasa-arvosta saamme sen. Siten esittämällä kunkin yhtälön jäännösosaa jaollisena lukujen erona, saamme toiseksi viimeisestä yhtälöstä sen, mikä on jaollinen.
C.T.D.
Lemma 3. GCD:n esityksestä.
Jos GCD( , )= , silloin on Gaussin kokonaislukuja Ja , Mitä .
Todiste.
Tarkastellaan euklidisessa algoritmissa saatua yhtälöiden ketjua alhaalta ylös. Korvaamalla johdonmukaisesti niiden ilmaisun jäännökset aikaisemmilla jäännöksillä, ilmaisemme ja.
Gaussin lukua kutsutaan yksinkertainen , jos sitä ei voida esittää kahden peruuttamattoman tekijän tulona. Seuraava väite on ilmeinen.
Lausunto 4.
Yksinkertaisen Gaussin luvun kertominen käännettävällä luvulla johtaa jälleen yksinkertaiseen Gauss-luvun.
Lausunto 5.
Jos otamme peruuttamattoman jakajan Gaussin luvun pienimmällä normilla, se on yksinkertainen Gauss-luku.
Todiste.
Olkoon tällainen jakaja yhdistelmäluku. Sitten, missä ja ovat peruuttamattomia Gaussin lukuja. Siirrytään normeihin, ja (3) mukaan saamme sen. Koska nämä normit ovat luonnollisia, meillä on se, ja (12) on peruuttamaton jakaja annettu numero Gauss, mikä on valinnan vastaista.
Lausunto 6.
Jos ei ole jaollinen Gaussin alkuluvulla , sitten GCD( , )=1.
Todiste.
Todellakin, alkuluku jaollinen vain liittolaisilla luvuilla 1 tai kanssa . Koska se ei ole jaollinen , sitten liittoutuneena ei myöskään jaettu. Tämä tarkoittaa, että vain palautuvat luvut ovat niiden yhteisiä jakajia.
Lemma 7. Eukleideen Lemma.
Jos Gaussin lukujen tulo on jaollinen Gaussin alkuluvulla , silloin ainakin yksi tekijöistä on jaollinen .
Todiste.
Todistukseksi riittää, kun tarkastellaan tapausta, jossa tuote sisältää vain kaksi tekijää. Toisin sanoen näytämme, että if on jaollinen , silloin jompikumpi on jaollinen , tai jaettuna .
Älä anna sitä jakaa , sitten GCD(, )=1. Siksi on Gaussin lukuja ja sellaisia. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla , saamme sen, siitä seuraa, että lukujen summana jaollinen .
1.4 ARITMETIIKAN PÄÄLAUSE.
Mikä tahansa nollasta poikkeava Gauss-luku voidaan esittää yksinkertaisten Gauss-lukujen tulona, ja tämä esitys on ainutlaatuinen liittoon ja tekijöiden järjestykseen asti.
Huomautus 1.
Reversiibelin luvun laajennuksessa on nolla alkutekijää, eli se esitetään itsestään.
Huomautus 2.
Tarkemmin sanottuna ainutlaatuisuus on muotoiltu seuraavasti. Jos on olemassa kaksi tekijöitä yksinkertaisiksi Gaussin tekijöiksi, eli , Tuo ja voit numeroida numerot uudelleen näin , Mitä tulee liittoutumaan , kaikille 1 - mukaan lukien.
Todiste.
Todistamme sen induktiolla normiin.
Pohja. Numerolle, jolla on yksikkönormi, väite on ilmeinen.
Olkoon nyt nollasta poikkeava irreversiibeli Gaussin luku, ja kaikille Gaussin luvuille, joiden normi on pienempi kuin väite, on todistettu.
Osoitetaan mahdollisuus hajoamiseen alkutekijöihin. Tätä varten merkitsemme peruuttamattomalla jakajalla pienin normi. Tämän jakajan on oltava lauseen 5 alkuluku. Sitten. Siten meillä on ja induktiivisen hypoteesin mukaan se voidaan esittää alkulukujen tulona. Siksi hajoaa näiden yksinkertaisten ja.
Osoitetaan alkutekijöihin hajotuksen ainutlaatuisuus. Tätä varten otamme kaksi mielivaltaista tällaista laajennusta:
Eukleideen lemman mukaan tuotteen yhden tekijän on oltava jaollinen. Voimme olettaa, että se on jaollinen, muuten numeroidaan uudelleen. Koska ne ovat yksinkertaisia, missä on käännettävä. Pienentämällä yhtäläisyytemme molempia puolia, saamme luvun alkutekijöiden jakamisen, joka on pienempi kuin normissa.
Induktiivisen oletuksen mukaan, ja on mahdollista numeroida numerot uudelleen siten, että se liittoutuu kanssa, kanssa, ..., kanssa. Sitten tässä numeroinnissa se on myös konjunktiivinen kanssa kaikille 1:stä mukaan lukien. Tästä syystä hajoaminen alkutekijöihin on ainutlaatuinen.
Esimerkki yhden generoidusta renkaastailman OTA:ta.
Harkitse. Tämän renkaan elementit ovat numeroita muotoa jossa ja ovat mielivaltaisia kokonaislukuja. Osoittakaamme, että aritmetiikan peruslause ei päde siinä. Määritämme tämän renkaan luvun normin seuraavasti: . Tämä on todellakin normi, koska sitä ei ole vaikea tarkistaa. Anna ja. Sitten
Huomaa, että.
Osoitetaan, että tarkasteltavana olevan renkaan luvut ovat alkulukuja. Todellakin, olkoon yksi heistä ja. Sitten meillä on: Koska tässä renkaassa ei ole numeroita, joilla on normi 2, niin tai. Käännettävät elementit ovat numeroita, joilla on yksikkönormi ja vain ne. Tämä tarkoittaa, että mielivaltaisessa tekijöissä on käännettävä tekijä, joten se on yksinkertainen.
LUKU 2. GAUSSIAN ALKULUKUJA.
Ymmärtääksesi, mitkä Gaussin luvut ovat alkulukuja, harkitse useita lauseita.
Lause 8.
Jokainen Gaussin alkuluku on tarkalleen yhden luonnollisen alkuluvun jakaja.
Todiste.
Olkoon sitten yksinkertainen Gaussilainen. Peruslauseen mukaan luonnollisten lukujen aritmetiikka hajoaa luonnollisten alkulukujen tuloksi. Ja Eukleideen lemman mukaan ainakin yksi niistä on jaollinen.
Osoittakaamme nyt, että yksinkertainen Gaussin ei voi jakaa kahta erillistä luonnollista alkulukua. Todellakin, vaikka olisi olemassa erillisiä prime luonnollisia lukuja jaollisia . Koska gcd()=1, niin gcd:n esittämistä kokonaislukuina koskevan lauseen mukaan on olemassa ja on sellaisia kokonaislukuja, jotka. Tämä on siis yksinkertaisuuden vastaista.
Siten jakamalla jokaisen yksinkertaisen luonnollisen yksinkertaisiksi Gaussiksi, luettelemme kaikki yksinkertaiset Gaussilaiset ja ilman toistoja.
Seuraava lause osoittaa, että jokainen luonnollinen alkuluku "saa" enintään kaksi yksinkertaista Gaussin lukua.
Lause 9.
Jos yksinkertainen luonnollinen tekijä hajotetaan kolmen yksinkertaisen Gaussin tekijän tuloksi, niin ainakin yksi tekijöistä on käännettävä.
Todiste.
Antaa on yksinkertainen luonnollinen sellainen . Kääntyen sääntöihin, saamme:
.
Tästä luonnollisten lukujen yhtäläisyydestä seuraa, että ainakin yksi normeista on yhtä suuri kuin 1. Siksi ainakin yksi luvuista -- käännettävä.
Lemma 10.
Jos Gaussin luku on jaollinen alkuluvulla, niin u.
Todiste.
Antaa , tuo on . Sitten , , tuo on , .
C.T.D.
Lemma 11.
Muodon luonnolliselle alkuluvulle on olemassa luonnollinen sellainen, että.
Todiste.
Wilsonin lauseessa sanotaan, että kokonaisluku on alkuluku silloin ja vain jos. Mutta täältä. Laajenna ja muuta faktoriaalista:
Siten saamme sen, ts. .
Näin ollen saimme sen , Missä = .
Nyt olemme valmiita kuvaamaan kaikkia yksinkertaisia Gaussin lukuja.
Lause 12.
Kaikki yksinkertaiset Gaussilaiset voidaan jakaa kolmeen ryhmään:
1). Yksinkertaiset luonnonlajit ovat yksinkertaisia Gaussia;
2). Kaksi on liittoutunut Gaussin alkuluvun neliön kanssa;
3). Yksinkertaiset luonnolliset tyypit hajoavat kahden yksinkertaisen konjugaatin Gaussin tuotteeksi.
Todiste.
1). Oletamme, että yksinkertainen luonnollinen kiltti ei ole yksinkertainen Gaussin. Sitten , ja Ja . Siirrytään sääntöihin: . Kun nämä epätasa-arvot otetaan huomioon, saadaan , tuo on on kahden kokonaisluvun neliöiden summa. Mutta kokonaislukujen neliöiden summa ei voi antaa jäännöstä 3, kun se jaetaan neljällä.
2). huomaa, että
.
Määrä on yksinkertainen Gaussin, koska muuten nämä kaksi hajoaisivat kolmeen peruuttamattomaan tekijään, mikä on ristiriidassa Lauseen 9 kanssa.
3). Olkoon yksinkertainen luonnollinen tyyppi , silloin Lemalla 11 on olemassa kokonaisluku sellasta . Antaa on yksinkertainen Gaussin. Koska , sitten Eukleideen lemmalla jakaa ainakin yhden tekijän. Antaa , silloin on Gaussin luku sellasta . Yhtälöimällä kuvitteellisten osien kertoimet, saamme sen . Siten, , mikä on ristiriidassa yksinkertaisuusolettamamme kanssa . Keinot on yhdistelmä Gaussin, joka voidaan esittää kahden yksinkertaisen konjugoidun Gaussin tulona.
C.T.D.
lausunto.
Gaussin lukukonjugaatti alkulukuon on itse alkuluku.
Todiste.
Olkoon alkuluku Gaussin. Olettaen, että komposiitti, eli. Tarkastellaan sitten konjugaattia:, eli se esitetään kahden irreversiibelin tekijän tulona, joita ei voi olla.
lausunto.
Gaussin alkuluku, jonka normi on luonnollinen alkuluku, on Gaussin alkuluku.
Todiste.
Olkoon sitten yhdistetty luku. Katsotaanpa sääntöjä.
Eli saimme, että normi on yhdistelmäluku, ja ehdon mukaan se on alkuluku. Siksi oletuksemme ei ole totta, ja on olemassa alkuluku.
lausunto.
Jos luonnollinen alkuluku ei ole yksinkertainen Gaussin luku, se voidaan esittää kahden neliön summana.
Todiste.
Olkoon luonnollinen alkuluku eikä yksinkertainen Gaussin. Sitten. Koska luvut ovat yhtä suuret, myös niiden normit ovat yhtä suuret. Eli täältä saamme.
Kaksi tapausta on mahdollista:
1). , eli esitetty kahden neliön summana.
2). , eli se tarkoittaa käännettävää lukua, joka ei voi olla, joten tämä tapaus ei tyydytä meitä.
LUKU 3. GAUSS-LUKUJEN SOVELTAMINEN.
lausunto.
Kahden neliön summana esitettävien lukujen tulo on myös esitettävissä kahden neliön summana.
Todiste.
Todistetaan tämä tosiasia kahdella tavalla, käyttämällä Gaussin lukuja ja ilman Gaussin lukuja.
1. Olkoon luonnollisia lukuja, jotka voidaan esittää kahden neliön summana. Sitten ja. Tarkastellaan tuloa, toisin sanoen esitettynä kahden konjugoidun Gaussin luvun tulona, joka esitetään kahden luonnollisten lukujen neliön summana.
2. Anna . Sitten
lausunto.
Jos, missä on yksinkertainen luonnollinen muoto, niin ja.
Todiste.
Ehdosta seuraa, että tässäkin tapauksessa kyseessä on yksinkertainen Gaussin. Sitten Eukleideen lemman mukaan yksi tekijöistä on jaollinen. Oletetaan, että meillä on Lemman 10 mukaan se ja.
Kuvataan luonnollisten lukujen yleinen muoto, joka voidaan esittää kahden neliön summana.
Fermat'n joululause tai Fermat'n lause--Euler.
Nollasta poikkeava luonnollinen luku voidaan esittää kahden neliön summana silloin ja vain, jos kanonisessa hajotuksessa kaikki muodon alkutekijät ovat tasaisissa voimissa.
Todiste.
Huomaa, että 2 ja kaikki lomakkeen alkuluvut voidaan esittää kahden neliön summana. Olkoon luvun kanonisessa hajotuksessa muodon alkutekijät, jotka esiintyvät parittomina. Sulkeisiin kaikki tekijät, jotka voidaan esittää kahden neliön summana, niin muodon tekijät säilyvät, ja kaikki ensimmäisessä asteessa. Osoittakaamme, että tällaisten tekijöiden tuloa ei voida esittää kahden neliön summana. Todellakin, jos oletetaan, että meillä on, että yksi tekijöistä tai sen pitäisi jakaa, mutta jos yksi näistä Gaussin luvuista jakaa, niin sen täytyy myös jakaa toinen, konjugaattina siihen. Eli ja, mutta sitten sen pitäisi olla toisessa asteessa ja sen ensimmäisessä. Siksi minkä tahansa määrän ensimmäisen asteen muodon alkutekijöiden tuloa ei voida esittää kahden neliön summana. Tämä tarkoittaa, että oletuksemme ei pidä paikkaansa ja kaikki muodon alkutekijät luvun kanonisessa hajotuksessa tulevat parillisiin potenssiin.
Tehtävä 1.
Katsotaanpa tämän teorian soveltamista Diafantian yhtälön ratkaisun esimerkissä.
Ratkaise kokonaislukuina.
Huomaa, että oikea puoli voidaan esittää konjugoitujen Gaussin lukujen tulona.
Tuo on. Olkoon se jaollinen jollakin yksinkertaisella Gaussin luvulla, ja konjugaatti on myös sillä jaollinen, eli. Jos otamme huomioon näiden Gaussin lukujen eron, jonka pitäisi olla jaollinen, saamme sen olevan jaettu 4:llä. Mutta siis liittoutuneena.
Kaikki alkutekijät luvun jaottelussa sisältyvät kolmen kerrannaisen potenssiin ja muodon tekijät kuuden kerrannaiseen, koska yksinkertainen Gaussin luku saadaan jaottelusta yksinkertaiseen Gaussian 2:een, mutta siis. Kuinka monta kertaa se esiintyy hajotuksessa luvun alkutekijöiksi, yhtä monta kertaa se esiintyy hajotuksessa luvun alkutekijöiksi. Koska se on jaollinen jos ja vain jos se on jaollinen. Mutta liittoutunut Toisin sanoen ne jakautuvat tasaisesti, mikä tarkoittaa, että ne sisällytetään näiden lukujen laajennuksiin kolmen kerrannaisina. Kaikki muut luvun hajotukseen sisältyvät alkutekijät tulevat vain joko luvun tai luvun hajotukseen. Tämä tarkoittaa, että luvun laajennettaessa yksinkertaisiksi Gaussin tekijöiksi kaikki tekijät sisällytetään kolmen kerrannaiseen. Siksi luku on kuutio. Meillä se siis on. Tästä saamme sen, eli sen on oltava luvun 2 jakaja. Siten tai. Sieltä saamme neljä vaihtoehtoa, jotka tyydyttävät meitä.
1. , . Mistä löydämme sen,.
2. , . Siksi,.
3. , . Siksi,.
4. , . Siksi,.
Tehtävä 2.
Ratkaise kokonaislukuina.
Esitetään vasen puoli kahden Gaussin luvun tulona, eli. Jaetaan jokainen luku yksinkertaisiksi Gaussin tekijöiksi. Yksinkertaisten joukossa on niitä, jotka ovat laajennuksessa ja. Ryhmittelemme kaikki tällaiset tekijät ja merkitsemme tuloksena olevaa tuotetta. Silloin vain ne tekijät, jotka eivät ole laajennuksessa, jäävät laajentumiseen. Kaikki laajenemisen yksinkertaiset Gaussin tekijät tulevat tasaisesti sisään. Ne, jotka eivät sisälly luetteloon, ovat läsnä joko vain sisällä tai sisällä. Luku on siis neliö. Tuo on. Kun todelliset ja kuvitteelliset osat rinnastetaan, saadaan, että .
Tehtävä 3.
Luonnollisen luvun esitysten lukumäärä kahden neliön summana.
Tehtävä vastaa ongelmaa tietyn luonnollisen luvun esittämisestä jonkin Gaussin luvun normina. Antaa olla Gaussin luku, jonka normi on yhtä suuri. Jaetaanpa yksinkertaisiin luonnontekijöihin.
Missä ovat muodon alkuluvut ja ovat muodon alkuluvut. Sitten, jotta se voidaan esittää kahden neliön summana, on välttämätöntä, että kaikki ovat parillisia. Sitten hajotamme luvun yksinkertaisiksi Gaussin tekijöiksi
missä ovat yksinkertaiset Gaussin luvut, joihin ne on hajotettu.
Normin vertaaminen numeroon johtaa seuraaviin suhteisiin, jotka ovat välttämättömiä ja riittäviä, jotta:
Näyttökertojen määrä lasketaan indikaattoreiden valintavaihtoehtojen kokonaismäärästä. Indikaattorien kohdalla on mahdollisuus, koska luku voidaan jakaa kahteen ei-negatiiviseen termiin seuraavasti:
Parille indikaattorille on vaihtoehto ja niin edelleen. Yhdistämällä kaikilla mahdollisilla tavoilla indikaattoreiden kelvolliset arvot, saadaan yhteensä erilaisia merkityksiä yksinkertaisten Gaussin lukujen tulolle normin muodossa tai 2. Eksponentit valitaan yksilöllisesti. Lopuksi reversiibelille voidaan antaa neljä merkitystä: Lukulle on siis kaikki mahdollisuudet, ja siksi luku Gaussin luvun normin muodossa, eli muodossa oleva luku voidaan esittää eri tavoilla.
Tässä laskelmassa yhtälön kaikkia ratkaisuja pidetään erilaisina. Joidenkin ratkaisujen voidaan kuitenkin nähdä määrittelevän saman esityksen kuin kahden neliön summa. Joten jos -- yhtälön ratkaisuja, voit määrittää seitsemän muuta ratkaisua, jotka määrittävät saman luvun esitystavan kuin kahden neliön summa: .
Ilmeisesti kahdeksasta yhtä esitystä vastaavasta ratkaisusta voi jäädä vain neljä erilaista jos ja vain jos tai, tai. Tällaiset esitykset ovat mahdollisia, jos täysneliö tai kaksinkertaistettu täysneliö, ja lisäksi tällaisia esityksiä voi olla vain yksi: .
Joten meillä on seuraavat kaavat:
Jos kaikki eivät ole tasaisia ja
Jos kaikki ovat tasaisia.
Johtopäätös.
Tässä artikkelissa tutkimme Gaussin kokonaislukujen renkaan jaotuvuusteoriaa sekä Gaussin alkulukujen luonnetta. Näitä kysymyksiä käsitellään kahdessa ensimmäisessä luvussa.
Kolmannessa luvussa tarkastellaan Gauss-lukujen soveltamista tunnettujen klassisten ongelmien ratkaisuun, kuten:
· Kysymys mahdollisuudesta esittää luonnollinen luku kahden neliön summana;
· Ongelma luonnollisen luvun esitysten lukumäärän löytämisestä kahden neliön summana;
· Yleisten ratkaisujen löytäminen epämääräiselle Pythagoraan yhtälölle;
ja myös Diaphantine-yhtälön ratkaisuun.
Huomautan myös, että työ tehtiin ilman lisäkirjallisuutta.
Samanlaisia asiakirjoja
Algebran kokonaislukujen jaotuvuusominaisuudet. Jäännöksellä jaon ominaisuudet. Alku- ja yhdistelmälukujen perusominaisuudet. Numerosarjalla jaettavissa olevat merkit. Käsitteet ja menetelmät suurimman yhteisen jakajan (GCD) ja pienimmän yhteiskerran (LCM) laskentaan.
luento, lisätty 05.07.2013
Katsaus Gaussin kvadratuurikaavoihin, niiden määritelmä, integraalikonstruktiot, esimerkit, jotka kuvaavat selkeästi Gaussin kvadratuurit. Joidenkin algoritmien käytön ominaisuudet, jotka mahdollistavat ongelmien ratkaisun edistymisen seuraamisen Gaussin kvadratuurikaavojen avulla.
valvontatyö, lisätty 16.12.2015
P-adisten kokonaislukujen yhteen- ja kertolasku, joka määritellään sekvenssien termittäiseksi yhteen- ja kertolaskuksi. Kokonaislukujen p-adic-lukujen rengas, niiden jaon ominaisuuksien tutkimus. Näiden lukujen selitys ottamalla käyttöön uusia matemaattisia objekteja.
lukukausityö, lisätty 22.6.2015
Matriisin käsite. Gaussin menetelmä. Matriisien tyypit. Cramerin menetelmä lineaaristen järjestelmien ratkaisemiseen. Toimet matriiseilla: yhteenlasku, kertolasku. Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen Gaussin menetelmällä. Systeemien alkeismuunnokset. Matemaattiset muunnokset.
luento, lisätty 6.2.2008
Lukujen lukumäärän säilymislaki Luonnollisen lukusarjan yhteissarja matematiikan lukujen takaisinkytkentäperiaatteena. Luonnollisen lukusarjan rakenne. Parillisten ja parittomien lukujen sarjan isomorfiset ominaisuudet. Alkulukujakauman fraktaaliluonne.
monografia, lisätty 28.3.2012
Johann Carl Friedrich Gauss on kaikkien aikojen suurin matemaatikko. Gaussin interpolointikaavat, jotka antavat likimääräisen lausekkeen funktiolle y=f(x) interpoloinnilla. Gaussin kaavojen käyttöalueet. Newtonin interpolointikaavojen tärkeimmät haitat.
testi, lisätty 12.6.2014
Laajennettu Eukleideen algoritmi, sen käyttö luonnollisten lukujen suurimman yhteisen jakajan löytämiseen jakojäännöksen avulla. Matemaattinen kalenteriongelma. Euklidiset renkaat - Fibonacci-lukujen analogit polynomirenkaassa, niiden ominaisuudet.
tiivistelmä, lisätty 25.9.2009
Luonnollisten lukujen Vivchennya potenssit. Alkulukujen kertoimen ääretön. Eratosthenesin seula. Aritmeettisen päälauseen seuranta. Alkulukujen alajaon asymptoottinen laki. Algoritmin karakterisointi väliä kohti olevien alkulukujen mukaan.
lukukausityö, lisätty 27.7.2015
Kompleksilukujen arvojen laskeminen algebrallisissa, trigonometrisissa ja eksponentiaalisissa muodoissa. Kompleksitason pisteiden välisen etäisyyden määrittäminen. Yhtälön ratkaisu kompleksilukujen joukkoon. Cramer-, käänteimatriisi- ja Gauss-menetelmät.
valvontatyö, lisätty 12.11.2012
Numeroteoreettinen perusta RNS:n rakentamiselle. Jakolause ja jäännös. Eukleideen algoritmi. Kiinan jäännöslause ja sen rooli lukujen esittämisessä RNS:ssä. Modulaarisen esityksen ja tiedon rinnakkaiskäsittelyn mallit. modulaariset toiminnot.
Luonnolliset luvut eivät ole rengas, koska 0 ei ole luonnollinen luku, eikä luonnollisille luvuille ole luonnollisia vastakohtia. Luonnollisten lukujen muodostamaa rakennetta kutsutaan puoliympyrä. Tarkemmin,
puoliympyrä kutsutaan yhteenlaskussa kommutatiiviseksi puoliryhmäksi ja kertolaskussa puoliryhmäksi, jossa yhteen- ja kertolaskuoperaatiot liittyvät distributiivisilla laeilla.
Esittelemme nyt tiukat kokonaislukujen määritelmät ja todistamme niiden vastaavuuden. Perustuen algebrallisten rakenteiden käsitteeseen ja siihen, että luonnollisten lukujen joukko on puolirengas, mutta ei rengas, voimme ottaa käyttöön seuraavan määritelmän:
Määritelmä 1. Kokonaislukujen rengas on pienin rengas, joka sisältää luonnollisten lukujen puolijoukon.
Tämä määritelmä ei kerro mitään ulkomuoto sellaisia lukuja. Koulukurssilla kokonaisluvut määritellään luonnollisiksi luvuiksi, niiden vastakohdat ja 0. Tätä määritelmää voidaan käyttää myös tiukan määritelmän perustana.
Määritelmä 2. Kokonaislukujen rengas on rengas, jonka alkiot ovat luonnolliset luvut, niiden vastakohdat ja 0 (ja vain ne).
Lause 1. Määritelmät 1 ja 2 ovat vastaavia.
Todiste: Merkitään Z 1:llä kokonaislukujen rengas määritelmän 1 merkityksessä ja Z 2:lla kokonaislukujen rengas määritelmän 2 merkityksessä. Ensin osoitetaan, että Z 2 sisältyy Z 1 :een. Todellakin, kaikki Z 2:n alkiot ovat joko luonnollisia lukuja (ne kuuluvat Z 1:een, koska Z 1 sisältää luonnollisten lukujen puolijoukon) tai niiden vastakohtia (ne kuuluvat myös Z 1:een, koska Z 1 on rengas, mikä tarkoittaa, että jokaiselle tämän renkaan elementille on vastakkainen, ja jokaiselle luonnolliselle n:lle н Z 1 , –n kuuluu myös Z 1:een) tai 0 (0 н Z 1 , koska Z 1 on rengas ja on 0 missä tahansa renkaassa), joten mikä tahansa elementti Z 2:sta kuuluu myös Z 1 :een ja siten Z 2 Í Z 1 . Toisaalta Z 2 sisältää luonnollisten lukujen puolijoukon ja Z 1 on luonnollisia lukuja sisältävä minimirengas, eli se ei voi sisältää yhtään toinen rengas, joka täyttää tämän ehdon. Mutta olemme osoittaneet, että se sisältää Z 2 , ja siksi Z 1 = Z 2 . Lause on todistettu.
Määritelmä 3. Kokonaislukujen rengas on rengas, jonka alkiot ovat kaikki mahdollisia alkioita, jotka voidaan esittää erotuksena b - a (kaikki mahdolliset yhtälön a + x = b ratkaisut), missä a ja b ovat mielivaltaisia luonnollisia lukuja.
Lause 2. Määritelmä 3 vastaa kahta edellistä.
Todiste: Merkitse Z 3:lla kokonaislukujen rengasta määritelmän 3 merkityksessä ja Z 1 = Z 2 :lla, kuten ennenkin, kokonaislukujen rengasta määritelmien 1 ja 2 merkityksessä (niiden yhtäläisyys on jo vahvistettu). Ensin todistetaan, että Z3 sisältyy Z2:een. Todellakin, kaikki Z 3:n alkiot voidaan esittää luonnollisten lukujen b – a eroina. Mille tahansa kahdelle luonnolliselle luvulle, trikotomialauseen mukaan, on kolme vaihtoehtoa mahdollista:
Tässä tapauksessa ero b – ja on myös luonnollinen luku ja kuuluu siksi Z 2 :een.
Tässä tapauksessa kahden yhtäläisen alkion eroa merkitään symbolilla 0. Osoitetaan, että tämä todellakin on renkaan nolla, eli summauksen suhteen neutraali alkio. Tätä varten käytämme eron a – a = x ó a = a + x määritelmää ja todistamme, että b + x = b mille tahansa luonnolliselle b:lle. Sen todistamiseksi riittää, että lisätään elementti b yhtälön a = a + x oikealle ja vasemmalle puolelle ja sitten käytetään pelkistyslakia (kaikki nämä toimet voidaan suorittaa renkaiden tunnettujen ominaisuuksien perusteella). Nolla kuuluu Z2:een.
Tässä tapauksessa ero a – b on luonnollinen luku, merkitsemme
b - a \u003d - (a - b). Osoitamme, että alkiot a - b ja b - a ovat todellakin vastakkaisia, eli niiden summa on nolla. Todellakin, jos merkitsemme a - b \u003d x, b - a \u003d y, niin saamme, että a \u003d b + x, b \u003d y + a. Lisäämällä saadut yhtäläisyydet termeiltä ja vähentämällä b, saadaan a \u003d x + y + a, eli x + y \u003d a - a \u003d 0. Siten a - b \u003d - (b - a) on luonnollisen luvun vastainen luku, eli se taas kuuluu Z2:een. Siten Z3НZ2.
Toisaalta Z 3 sisältää luonnollisten lukujen puolijoukon, koska mikä tahansa luonnollinen luku n voidaan aina esittää
n = n / – 1 О Z 3 ,
ja siten Z 1 Í Z 3 , koska Z 1 on luonnollisia lukuja sisältävä minimirengas. Käyttämällä jo todistettua tosiasiaa, että Z 2 = Z 1 , saadaan Z 1 = Z 2 = Z 3 . Lause on todistettu.
Vaikka ensi silmäyksellä saattaa tuntua, että luetelluissa kokonaislukumääritelmissä ei ole aksioomia, nämä määritelmät ovat aksiomaattisia, koska kaikki kolme määritelmää sanovat, että kokonaislukujen joukko on rengas. Siksi renkaan määritelmän ehdot toimivat aksioomeina kokonaislukujen aksiomaattisessa teoriassa.
Todistetaan se kokonaislukujen aksiomaattinen teoria on johdonmukainen. Sen todistamiseksi on välttämätöntä rakentaa malli kokonaislukujen renkaasta käyttämällä tunnettua johdonmukaista teoriaa (tapauksessamme tämä voi olla vain luonnollisten lukujen aksiomaattinen teoria).
Määritelmän 3 mukaan jokainen kokonaisluku voidaan esittää kahden luonnollisen luvun erotuksena z = b – a. Yhdistä jokaiseen kokonaislukuun z vastaava pari
Esitetty relaatio on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen (todistus jätetään lukijan tehtäväksi).
Kuten mikä tahansa ekvivalenssirelaatio, tämä relaatio luo osion kaikkien mahdollisten luonnollisten lukuparien joukosta ekvivalenssiluokkiin, joita merkitään [
1) [
2) [
Osoittakaamme, että esitetyt määritelmät ovat oikeita, eli ne eivät riipu tiettyjen edustajien valinnasta pariluokista. Toisin sanoen, jos parit ovat samanarvoisia
Todiste: Käytä pariekvivalenssin määritelmää:
Kun lisätään yhtäläisyydet (1) ja (2) termi kerrallaan, saadaan:
a + b 1 + c + d 1 \u003d b + a 1 + d + c 1.
Kaikki viimeisen yhtälön termit ovat luonnollisia lukuja, joten voimme soveltaa kommutatiivisia ja assosiatiivisia yhteenlaskulakeja, mikä johtaa meidät tasa-arvoon
(a + c) + (b 1 + d 1) \u003d (b + d) + (a 1 + c 1),
Kertomisen oikeellisuuden osoittamiseksi kerrotaan yhtälö (1) c:llä, saadaan:
ac + b 1 s \u003d bc + a 1 s.
Sitten kirjoitetaan yhtälö (1) uudelleen muotoon b + a 1 = a + b 1 ja kerrotaan d:llä:
bd + a 1 d = mainos + b 1 d.
Lisäämme tuloksena saadut yhtäläisyydet termi kerrallaan:
ac + bd + a 1 d + b 1 s = bc + ad + b 1 d + a 1 s,
mikä tarkoittaa sitä
Sitten teemme saman menettelyn yhtälöllä (2), vain kerromme sen luvuilla a 1 ja b 1. Saamme:
a 1 c + a 1 d 1 = a 1 d + a 1 c 1
b 1 d + b 1 c 1 \u003d b 1 c + b 1 d 1,
a 1 c + b 1 d + b 1 c 1 + a 1 d 1 = a 1 d + b 1 d + b 1 c 1 + a 1 c 1 ó
ó @
(Tässä olemme todistaneet sen ×
Siten esitettyjen määritelmien oikeellisuus on todistettu.
Seuraavaksi kaikki renkaiden ominaisuudet tarkistetaan suoraan: pariluokkien yhteenlasku- ja kertolasku, yhteenlaskulaki ja jakautumislaki. Otetaan esimerkkinä todiste assosiatiivisesta summauslaista:
Koska kaikki lukuparien komponentit ovat luonnollisia
= <(a + c) +m), (b + d) +n)> =
= <(a + c), (b + d)> +
Loput lait tarkistetaan samalla tavalla (huomaa, että vaaditun tasa-arvon vasemman ja oikean osan erillinen muuntaminen samaan muotoon voi olla hyödyllinen tekniikka).
On myös tarpeen todistaa neutraalin elementin olemassaolo lisäämällä. Ne voivat olla luokkaa muotoisia pareja [<с, с>]. Todella,
[
a + c + b = b + c + a (pätee kaikille luonnollisille luvuille).
Lisäksi jokaiselle pariluokalle [
Voidaan myös todistaa, että esitetty pariluokkien joukko on kommutatiivinen rengas yksiköllä (yksikkö voi olla parien luokka [
[
Tarkastetaan tätä sääntöä käyttäen ehtojen C1 ja C2 pätevyys (luonnollisten lukujen yhteenlaskemisen määritelmästä). Ehto C1 (a + 1 = a /) in Tämä tapaus kirjoitettu uudelleen muotoon:
[
a + c / +b = a + b + 1 + c = b + c + a +1 = b + c + a /
(Muistamme jälleen kerran, että kaikki komponentit ovat luonnollisia).
Kunto C2 näyttää tältä:
[
Muunnamme erikseen tämän yhtälön vasemman ja oikean osan:
[
([
Siten näemme, että vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että ehto C2 on tosi. Todistus ehdosta U1 jätetään lukijalle. ehto Y2 on distributiivisen lain seuraus.
Joten kokonaislukujen renkaan malli on rakennettu, ja näin ollen kokonaislukujen aksiomaattinen teoria on johdonmukainen, jos luonnollisten lukujen aksiomaattinen teoria on johdonmukainen.
Kokonaislukujen operaatioiden ominaisuudet:
2) a×(–b) = –a×b = – (ab)
3) – (– a) = a
4) (–a) × (–b) = ab
5) a×(–1) = – a
6) a - b \u003d - b + a \u003d - (b - a)
7) - a - b \u003d - (a + b)
8) (a - b) × c \u003d ac - bc
9) (a - b) - c \u003d a - (b + c)
10) a - (b - c) = a - b + c.
Kaikkien ominaisuuksien todistukset toistavat renkaiden vastaavien ominaisuuksien todistukset.
1) a + a × 0 = a × 1 + a × 0 = a × (1 + 0) = a × 1 = a, eli a × 0 on neutraali alkio summauksen perusteella.
2) a×(–b) + ab = a(–b + b) = a×0 = 0, eli alkio a×(–b) on vastapäätä elementtiä a×b.
3) (– a) + a = 0 (vastakkaisen alkion määritelmän mukaan). Vastaavasti (– a) + (– (– a)) = 0. Tasaamalla yhtälöiden vasemmat puolet ja soveltamalla pelkistyslakia, saadaan – (– a) = a.
4) (–a)×(–b) = –(a×(–b)) = –(–(а×b)) = ab.
5) a×(–1) + a = a×(–1) + a×1 = a×(–1 + 1) = a×0 = 0
a×(–1) + a = 0
a×(–1) = –а.
6) Eron a - b määritelmän mukaan on olemassa luku x, jolloin a = x + b. Lisäämällä vasemman yhtälön -b oikealle ja vasemmalle puolelle ja käyttämällä kommutatiivista lakia, saadaan ensimmäinen yhtäläisyys.
– b + a + b – a = –b + b + a – a = 0 + 0 = 0, mikä todistaa toisen yhtälön.
7) - a - b = - 1 × a - 1 × b = -1 × (a + b) = - (a + b).
8) (a – b) ×c = (a +(–1) × b) ×c = ac + (–1) × bc = ac – bc
9) (a - b) - c \u003d x,
a - b \u003d x + c,
a - (b + c) \u003d x, eli
(a - b) - c \u003d a - (b + c).
10) a - (b - c) = a + (- 1) × (b - c) = a + (- 1 × b) + (-1) × (- c) = a - 1 × b + 1 × c = = a - b + c.
Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun
Nro 2.1. Etsi taulukon oikeasta sarakkeesta parit, jotka vastaavat taulukon vasemmassa sarakkeessa annettuja pareja.
| A)<7, 5> | 1) <5, 7> |
| b)<2, 3> | 2) <1, 10> |
| V)<10, 10> | 3) <5, 4> |
| G)<6, 2> | 4) <15, 5> |
| 5) <1, 5> | |
| 6) <9, 9> |
Ilmoita kunkin parin vastakohta.
Nro 2.2. Laskea
A) [<1, 5>] + [ <3, 2>]; b)[<3, 8>] + [<4, 7>];
V) [<7, 4>] – [<8, 3>]; G) [<1, 5>] – [ <3, 2>];
e) [<1, 5>] × [ <2, 2>]; e) [<2, 10>]× [<10, 2>].
Nro 2.3. Tarkista tässä osiossa kuvatun kokonaislukumallin osalta yhteenlaskulaki, assosiatiiviset ja kommutatiiviset kertolaskulait sekä distributiiviset lait.
Olemme nähneet, että polynomien operaatiot pelkistyvät niiden kertoimien operaatioiksi. Samanaikaisesti polynomien yhteen-, vähennys- ja kertolaskuihin riittää kolme aritmeettista operaatiota - lukujen jakamista ei vaadittu. Koska kahden reaaliluvun summa, erotus ja tulo ovat jälleen reaalilukuja, polynomien yhteenlaskeminen, vähentäminen ja kertominen todellisilla kertoimilla johtaa polynomeihin, joissa on reaalikertoimet.
Aina ei kuitenkaan tarvitse käsitellä polynomeja, joilla on todellisia kertoimia. On tapauksia, joissa kertoimilla pitäisi asian olemuksen mukaan olla vain kokonaislukuja tai vain rationaalisia arvoja. Riippuen siitä, mitkä kertoimien arvot ovat sallittuja, polynomien ominaisuudet muuttuvat. Esimerkiksi, jos tarkastelemme polynomeja, joilla on todellisia kertoimia, voimme kertoa:
Jos rajoitamme polynomeihin, joissa on kokonaislukukerroin, niin laajennuksessa (1) ei ole järkeä ja polynomia on pidettävä tekijöiksi hajoamattomana.
Tämä osoittaa, että polynomien teoria riippuu olennaisesti siitä, mitä kertoimia pidetään hyväksyttävinä. Kaukana mitään kertoimia ei voida pitää hyväksyttävänä. Tarkastellaan esimerkiksi kaikkia polynomeja, joiden kertoimet ovat parittomia kokonaislukuja. On selvää, että kahden tällaisen polynomin summa ei ole enää samantyyppinen polynomi: parittomien lukujen summa on loppujen lopuksi parillinen luku.
Esitetään kysymys: mitkä ovat "hyviä" kertoimien joukkoja? Milloin tietyntyyppisten kertoimien polynomien summalla, erotuksella, tulolla on samantyyppisiä kertoimia? Vastataksemme tähän kysymykseen otamme käyttöön numerorenkaan käsitteen.
Määritelmä. Ei-tyhjää numerosarjaa kutsutaan numerorenkaaksi, jos se sisältää yhdessä minkä tahansa kahden luvun a ja luvun kanssa niiden summan, erotuksen ja tulon. Tämä ilmaistaan myös lyhyemmin sanomalla, että numerorengas on suljettu yhteen-, vähennys- ja kertolaskuoperaatioissa.
1) Kokonaislukujoukko on numeerinen rengas: kokonaislukujen summa, erotus ja tulo ovat kokonaislukuja. Luonnollisten lukujen joukko ei ole numeerinen rengas, koska luonnollisten lukujen ero voi olla negatiivinen.
2) Kaikkien rationaalilukujen joukko on numeerinen rengas, koska rationaalilukujen summa, erotus ja tulo ovat rationaalisia.
3) Muodostaa lukurenkaan ja kaikkien reaalilukujen joukon.
4) A-muotoiset luvut, joissa a ja kokonaisluvut muodostavat numeerisen renkaan. Tämä seuraa suhteista:
5) Parittomien lukujen joukko ei ole numerorengas, koska parittomien lukujen summa on parillinen. Parillisten lukujen joukko on numeerinen rengas.
Ohjelmointikurssilta tiedetään, että kokonaisluku voidaan esittää tietokoneen muistissa eri tavoin, erityisesti tämä esitys riippuu siitä, miten se on kuvattu: arvona tyyppiä integer , tai real , tai string . Samaan aikaan useimmissa ohjelmointikielissä kokonaisluvut ymmärretään lukuina hyvin rajatusta alueesta: tyypillinen tapaus on välillä -2 15 = -32768 - 2 15 - 1 = 32767 . Järjestelmät tietokonealgebra käsittele suuria kokonaislukuja, erityisesti mikä tahansa tällainen järjestelmä voi laskea ja näyttää lukuja, kuten 1000 desimaalimuodossa! (yli tuhat merkkiä).
Tällä kurssilla tarkastellaan kokonaislukujen esittämistä symbolisessa muodossa emmekä mene yksityiskohtiin siitä, kuinka paljon muistia on varattu yhden merkin (bitin, tavun tai muun) kirjoittamiseen. Yleisin on kokonaislukujen esitys in paikkanumerojärjestelmät. Tällainen järjestelmä määräytyy luvun perustan valinnalla, esimerkiksi 10. Desimaalilukujen joukko kuvataan yleensä seuraavasti:
Kirjallinen kokonaislukumääritelmä antaa jokaisen tällaisen luvun esityksen ainutlaatuisuuden, ja samanlaista määritelmää (vain, ehkä eri perustein) käytetään useimmissa järjestelmissä. tietokonealgebra. Tätä esitystä käyttämällä on kätevää toteuttaa aritmeettisia operaatioita kokonaisluvuilla. Samanaikaisesti yhteen- ja vähennyslasku ovat suhteellisen "halpoja" operaatioita, kun taas kerto- ja jakolasku ovat "kallisia". Aritmeettisten operaatioiden monimutkaisuutta arvioitaessa tulee ottaa huomioon sekä perusoperaation kustannukset (yksibittiset) että yksibittisten operaatioiden määrä minkä tahansa toiminnon suorittamiseksi moninumeroisille luvuille. Kerto- ja jakolaskun monimutkaisuus johtuu ensinnäkin siitä, että luvun pituuden kasvaessa (sen merkintä missä tahansa lukujärjestelmässä) alkeisoperaatioiden määrä kasvaa toisen asteen lain mukaan, toisin kuin lineaarinen yhteen- ja vähennyslaskua varten. Lisäksi se, mitä me yleensä kutsumme moninumeroiseksi jakoalgoritmiksi, perustuu itse asiassa osamäärän mahdollisen seuraavan numeron laskemiseen (usein hyvin merkittävään), eikä pelkkä yksinumeroisten lukujen jakamissääntöjen käyttäminen riitä. Jos lukujärjestelmän kanta on suuri (usein se voi olla luokkaa 2 30 ), tämä menetelmä on tehoton.
Antaa olla luonnollinen luku (kirjoitettu desimaalijärjestelmässä). Saadakseen hänen levynsä 
-aarilukujärjestelmässä voit käyttää seuraavaa algoritmia (merkitsee luvun kokonaislukuosaa):
Annettu: A-luonnollinen luku desimaalimuodossa k > 1-luonnollinen luku Tarve: A-tietue luvusta A k-desimaalimuodossa Aloita i:= 0 sykli, kun taas A > 0 bi:= A (mod k) A:= i := i + 1 syklin dA loppu:= i - 1 loppu
Seuraavaa algoritmia käytetään palauttamaan desimaaliluku sen k-arvoisen merkinnän sekvenssistä:
Annettu: k > 1-luonnollinen numerosarja, joka edustaa lukua A k-aarisessa järjestelmässä Tarve: A-tietue luvusta A desimaalimuodossa Alku A:= 0 jakso sekvenssin loppuun b:= seuraava alkio sekvenssin A:= A * k + b loppusilmukka End
1.2. HARJOITTELE. Selitä, miksi jakoa käytetään luvun muuntamiseen desimaalijärjestelmästä k-luvuksi ja kertolaskua käytetään k-luvun muuntamiseen desimaaliksi.
Kertomalla "sarakkeella" kaksi kaksinumeroista lukua desimaalilukujärjestelmässä, suoritamme seuraavat toiminnot:
(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd,
eli 4 yksinumeroisten lukujen kertolaskuoperaatiota, 3 yhteenlaskuoperaatiota ja 2 kertolaskuoperaatiota lukukannan potenssilla, jotka pelkistetään siirroksi. Monimutkaisuutta arvioitaessa voidaan ottaa huomioon kaikki perusoperaatiot erottelematta niitä painoilla (tässä esimerkissä meillä on 9 perusoperaatiota). Algoritmin optimointitehtävä vähenee tässä lähestymistavassa perustoimintojen kokonaismäärän minimoimiseksi. Voidaan kuitenkin ajatella, että kertolasku on "kallimpi" operaatio kuin yhteenlasku, mikä puolestaan on "kallimpi" kuin siirto. Kun otetaan huomioon vain kalleimmat toiminnot, saamme sen kertova kaksinumeroisten lukujen kertomisen monimutkaisuus "sarakkeella" on 4.
Osassa 5 tarkastellaan algoritmeja suurimpien yhteisten jakajien laskemiseksi ja arvioidaan niiden monimutkaisuutta.
Tarkasteltu esitys ei ole ainoa kokonaislukujen kanoninen esitys. Kuten jo todettiin, kanonisen esityksen valinnassa voidaan käyttää luonnollisen luvun alkutekijöiksi jakamisen ainutlaatuisuutta. Tällaista kokonaisluvun esitystapaa voidaan käyttää niissä ongelmissa, joissa käytetään vain kerto- ja jakooperaatioita, koska niistä tulee erittäin "halpoja", mutta yhteen- ja vähennysoperaatioiden kustannukset kasvavat suhteettomasti, mikä estää tällaisen esityksen käytön. Joissakin ongelmissa kanonisen esityksen hylkääminen antaa merkittävän suorituskyvyn lisäyksen, erityisesti voidaan käyttää luvun osittaista kertoimia. Samanlainen menetelmä on erityisen hyödyllinen työskenneltäessä ei numeroiden, vaan polynomien kanssa.
Jos tiedetään, että ohjelman toiminnan aikana kaikki laskelmissa kohdatut kokonaisluvut ovat itseisarvoltaan rajoitettuja tietyllä vakiolla, niin voit asettaa tällaisia lukuja niiden jäännösjärjestelmän joidenkin koalkilukujen moduulissa, tulo joka ylittää mainitun vakion. Laskelmat jäännösluokilla ovat yleensä nopeampia kuin monitarkkuusaritmetiikka. Ja tällä lähestymistavalla monitarkkuusaritmetiikkaa tulisi käyttää vain tietoja syötettäessä tai tulostettaessa.
Huomaa, että kanonisten esitysten ohella järjestelmissä tietokonealgebra käytetään myös muita esityksiä. Erityisesti on toivottavaa, että "+"-merkin läsnäolo tai puuttuminen kokonaisluvun edessä ei vaikuta tietokoneen käsitykseen siitä. Siten positiivisille luvuille saadaan moniselitteinen esitys, vaikka muoto negatiivisia lukuja määritelty yksiselitteisesti.
Toinen vaatimus on, että nollien läsnäolo ennen ensimmäistä merkitsevää numeroa ei saa vaikuttaa luvun havaitsemiseen.
1.3. HARJOITUKSET.
- Arvioi yksinumeroisten kertolaskujen määrä, kun m-numeroinen luku kerrotaan n-numeroisella luvulla sarakkeella.
- Osoita, että kaksi kaksinumeroista lukua voidaan kertoa käyttämällä vain kolmea yksinumeroista kertolaskua ja lisäämällä yhteenlaskujen määrää.
- Etsi algoritmi pitkien lukujen jakamiseen, joka ei vaadi paljon laskemista osamäärän ensimmäisen numeron löytämiseksi.
- Kuvaa algoritmi luonnollisten lukujen muuntamiseksi m-arvoisesta lukujärjestelmästä n-arvoiseksi.
- SISÄÄN Roomalainen numerointi seuraavia symboleja käytetään numeroiden kirjoittamiseen: I - yksi, V - viisi, X - kymmenen, L - viisikymmentä, C - sata, D - viisisataa, M - tuhat. Symbolia pidetään negatiivisena, jos sen oikealla puolella on suuremman luvun symboli, ja muutoin positiivisena. Esimerkiksi tämän järjestelmän numero 1948 kirjoitetaan näin: MCMXLVIII. Muotoile algoritmi luvun muuntamiseksi roomalaisesta desimaaliluvuksi ja päinvastoin. Toteuta tuloksena oleva algoritmi jollakin algoritmikielistä (esimerkiksi C). Alkutietojen rajoitukset: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
- Muotoile algoritmi ja kirjoita ohjelma luonnollisten lukujen lisäämiseksi roomalaisessa numeraatiossa.
- Sanomme, että olemme tekemisissä numerojärjestelmän kanssa sekoitettu tai vektoripohjainen, jos meille annetaan n luonnollisen luvun vektori M = (m 1 , . . . ,m n) (kanta) ja merkintä K = (k 0 , k 1 , . . . , k n) tarkoittaa lukua k = k 0 +m 1 (k 1 +m 2 (k 2 + · · +m n · k n) . . .)). Kirjoita ohjelma, joka tietojen (viikonpäivä, tunnit, minuutit, sekunnit) perusteella määrittää kuinka monta sekuntia on kulunut viikon alusta (maanantai, 0, 0, 0) = 0, ja suorittaa käänteisen muunnoksen.
